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1、不等式选讲 知识点一、绝对值不等式1绝对值三角不等式定理1：如果a,b是实数，则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时，等号成立。注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当，不共线时，|+|+|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。（2）不等式|a|-|b|ab|a|+|b|中“=”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|，在侧“=”成立的条件是ab0，左侧“=”成立的条件是ab0且|a|b|;不等式|a|-|b|a-b|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab0，左侧“=”成立的条件是ab0且|a|b|。定理2：如果a,b,c是实数，那么|a-c|a-b|
2、+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)时，等号成立。2绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a=0a0|x|ax|-axa|x|ax|xa 或x-a x|xR且x0R注：|x|以及|x-a|x-b|表示的几何意义（|x|表示数轴上的点x到原点的距离；| x-a |x-b|）表示数轴上的点x到点a,b的距离之和（差）（2）|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c-cax+bc;| ax+b|c ax+bc或ax+b-c.（3）|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法方法一：利用绝对值
3、不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。二、证明不等式的基本方法1比较法（1）作差比较法理论依据：aba-b0;ab a-b0.证明步骤：作差变形判断符号得出结论。注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系。（2）作商比较法理论依据： 证明步骤：作商变形判断与1的大小关系得出结论。2综合法（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做推证法或由
4、因导果法。（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式。3分析法（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法。（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止。注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚。当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程。4放缩法（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法。（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键。
