《2020版高考数学总复习第四章三角函数、平面向量与复数第31讲复数练习文(含解析)新人教》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学总复习第四章三角函数、平面向量与复数第31讲复数练习文(含解析)新人教（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第31讲复数【学习目标】1. 理解复数的有关概念，以及复数相等的充要条件.2. 了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算.3. 了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义.【基础检测】1 .设i为虚数单位,则（1+i）4=（）A.-4B.4C.-4iD.4i【解析】（1+i）4=（2i）2=4,选Ao【答案】A2 .已知复数z=错误！（i为虚数单位），则z的虚部为（）A.1B.0C.1D.i【解析】因为Z=错误！=错误！=错误！，故虚部为1。故选C.【答案】C3 .已知复数z=x+yi（x,yCR）,若1+i=x+（y1）i,则|z|=（）A.2B.错误！C。错误
2、！D.5【解析】由复数相等的充分必要条件有:错误！即错误！则z=1+2i,|z|=W+22=错误！。故选C.【答案】C4.已知i是虚数单位，复数错误!是z的共腕复数，复数z=错误！+3i1,则下面说法正确的是（）A.z在复平面内对应的点落在第四象限B.错误！=2+2iCo错误！的虚部为1Do错误！=2【解析】复数z=错误！+3i1=错误！+3i1=i1+3i1=2+2i,则z在复平面内对应的点（一2,2）落在第二象限，错误！=22i,错误！=错误！=错误！=1+i,其虚部为1,错误！=错误！.因此只有C正确.故选Co【答案】C【知识要点】1 .复数的概念这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫复
3、平面,x轴叫实轴，y轴叫虚轴.显然，实轴上尸虚瞅复数施、(1(1)复数：我们把集合仁a+bi|a,beF中的数，即形如a+bi(a,bCR)的数叫作_M数_,其中i叫作虚数单位全体复数所构成的集合C叫作复数集_.(2)复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,bCR).这一表示形式叫作复数的_R数形式_,其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部.一(3)复数的相等：复数zi=a+bi与Z2=c+di相等的充要条件是_a=c且b=d_,即a+bi=c+di?a=c且b=d.(4)复数的分类：对于复数a+bi,当且仅当_b=0_时,它是实数；当且仅当a=o时，它是实数0；当bw。时，叫
4、作.虚数；当a=0且bw。时，叫作_纯虚数_.2 .复数的几何意义(1)复平面：如图，点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示,量对应)，即复数z= a+ bi 一错误！平面向量错误！=,这是复数的另一种几何意义(如图所示).的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.(2)复数与点：复数集C和复平面内所有点所成的集合是一一对应的，即错误！K,这是复数的一种几何意义.(3)复数与向量：复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向即有：(4)复数的模：向量错误！的模r叫作复数z=a+bi的_模_,记作|z|或|a+bi|.特别地，若b=0,则2
5、=2+bi=2是实数，它的模为Ia|(即a的绝对值).显然，|z|=|a+bi|=r=_错误L_(r0,rCR).3 .复数的加减法及其几何意义(1)复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,显然，两个复数的和仍然是一个确定的复数.运算律：？zi,z2,z3CC,有zi+z2=z2+zi,(Z1+Z2)+Z3=Zl+(Z2+Z3).几何意义：设错误！，错误！分别与复数a+bi,c+di对应，则有错误！=(a,b),错误！=(c,d),由平面向量的坐标运算，有错误！+错误！=(a+c,b+d),即错误！+
6、错误！是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量，故复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义.(2)复数的减法法则：(a+bi)(c+di)=_(ac)+(bd)i_,显然，两个复数的差是一个确定的复数.减法的几何意义：复数的减法满足向量的三角形法则，如图所示，错误！一错误！=_Cac,bd)_,即向量错误！一错误！与复数_(ac)+(bd)i_对应.(3)对于复数z而言，|z(a+bi)|=r(r0)(其中aCR,bCR)表示复平面内复数z对应的点的轨迹为以(a,b)为圆心，r为半径的圆.4 .复数的乘除法(1)复数的乘法法则：设zi=a+bi,Z2=c+di是任意两个复数
7、，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=_(acbd)+(bc+ad)i_.由此可见，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.显然，两个复数的积仍是一个确定的复数.运算律：？zi,Z2,Z3CC,有：Ziz2=z2zi,(ziz2)z3=zi(z2z3),zi.(z2+z3)=ziz2+zi.z3oi的运算律：特别地，i4n+i=i,i4n+2=i,i4n+3=_i,i4n+4=i,其中neNo(2)共腕复数定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫互为共腕复数(实数的共腕复数是它本身)
8、.如a+bi与a-bi互为共一复数.复数z的共腕复数常记为z.几何意义：若zi与z2是共腕复数，那么在复平面内zi与z2对应的点关于实轴对称.运算：zi=a+bi与z2=abi是共腕复数，则ziz2=(a+bi)(a-bi)=_g2+b2,显然，zi-Z2=IziI2=Iz2|2.性质：|zi|=|z2I。(3)复数的除法(a+bi)+(c+di)=错误！=错误！=错误！+错误！i(c2+d2w0).由此可见，两个复数相除(除数不为0),所得的商仍是一个确定的复数.对两个复数zi,z2,有错误！=错误！.5 .常用结论：错误！=i,错误！=i,错误！=一i,(1i)2=2i。选/典例剖析。72
9、考点1复数的概念错误！(1)设复数Zi=1+i,Z2=i,其中i为虚数单位,则错误！的虚部为()A.1B.1C.iD.-i【解析】错误！1=1i,错误！=错误！=1i,虚部为一1,故选A.【答案】A(2)若Z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i(怵R),Z2=32i,则“m=1”是“z=Z2的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】若Z1=Z2,等价于错误！?m+m-2=0?2或m=1,m=1”?Z1=Z2但Z1=Z？/m=1”，m=1”是“Z1=Z2”的充分不必要条件.【答案】A(3)若复数错误！(aCR)为纯虚数，则|3ai|=()A。错
10、误！B.13C.10D.错误！【解析】由复数的运算法则有：错误！=错误！=错误！+错误！i,复数错误！(aCR)为纯虚数，则错误！即a=2,|3ai|=错误！=错误！。故选A【答案】A【小结】复数的分类及对应点位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程即可.考点2复数代数形式的运算例2(1)已知i为虚数单位，复数Z=错误！+错误！i的共腕复数为错误！，则错误！+错误！=1【解析】复数Z=2+错误！i的共腕复数为错误！=错误！一错误！i。错误！=错误！=1。所以错误！+错误！=错误！一错误！i.1【答案】2-错误！i（2）已知i是虚数
11、单位，则错误！错误！+错误！错误！=.【解析】原式=错误！错误！+错误！错误！=错误！错误！+i6=i1010+i6=i252+2+i4+2=i2+i2=2o【答案】2【小结】复数的运算关键是两点：（1） i的周期性；（2）除法中分母实数化即共腕复数性质.考点3复数的几何意义错误！（1）在复平面内与复数2=错误！所对应的点关于虚轴对称的点为A,则A对应的复数为（）A.1+iB.1-iC.-1-iD.1+i【解析】因为Z=错误！=1+i,所以其在复平面内对应的点为（1,1）,关于虚轴对称的点为A（1,1）,故A对应的复数为一1+i。【答案】D（2）设复数z满足|z|=1,则|z2的最小值为（）A
12、.1B.2C.3D.4【解析】由题意，复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心,1为半径的圆上，要求|z2|的最小值，只需找出圆上的点到点（2,0）的距离最小的点即可.连接圆心（0,0）与点（2,0）,长度为2,故忆-2|min=1。【答案】A（3）已知复数z=x+yi（x,yCR）,且|z-2|=错误！，则错误！的最大值是;最小值是.【解析】|z2|=错误！=错误！，；（x2）2+y2=3.错误！表示过圆上的点（x,y）及（0,0）两点的直线斜率错误！.如图，当过（0,0）的直线与圆相切时取到斜率的最值，故错误！错误！=错误！=错误！，错误！错误！=错误！。【答案】m-错误！【小结】研究复数模
13、的问题，可利用数形结合法，考虑模的几何意义求解.考点4在复数集中的方程问题z的共腕复数为错误！（1）设复数z满足z（1+i）=2+4i,其中i为虚数单位，则复数【解析】因为z=错误！=错误！=(1+2i)(1i)=3+i,所以复数z的共腕复数为3i。【答案】3-i(2)已知复数zi=1+2i,Z2=1i,Z3=34i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若错误！=入错误！+p错误！(入，仙CR)，则入+医的值是.【解析】由条件得错误！=(3,-4),错误！=(1,2),错误！=(1,1),根据错误！=入错误！十礼错误！得(3,-4)=入(1,2)(1,1)=(入+d，2人一医)，错误！解得
14、错误！入+医=1.【答案】1(3)若z错误！一(z+1)(z-1)=|z|,则复数z=.【解析】设z=x+yi(x,yCR),则(x+yi)(x-yi)(x+1)+yi(x1)yi=错误！，x2+y2(x21)y2+2yi=/x2+y2。根据复数相等的定义得错误！解得x=1,y=0.【答案】1【小结】利用复数相等实现复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想.【能力提升】例5对任意复数CD1,2,定义1*2=312,其中2是2共共腕复数.对任意复数z1,z2,z3有如下四个命题：(z+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3)；Z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3);(z1*z2)*z3=z*(z2*z3)；Z1*z2=z2*z1.则真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】由题意得(z+z2)*z3=(z+z2)z3=z1z3+z2z3=z1*z3+z2*z3,故正确；z1*(z2+z3)=z1(z2+z3)=z1z2+z1z3=(z1*z2)+(z1*z3),故正确；(z1*z2)*z3=z1z2z3,而z1*(z2*z3)=z1z2z3,故错误；z1*z2=z1z2,而z2*z1=z2z1，故不正确.故选B.【答案】B【小结】复数与新定义问题结合，把握好新定义的结构特征是关
