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1、2013年高三理科数学第一轮复习第十四章（3） 推理与证明考纲要求1、合情推理的含义及应用2、演绎推理的基本模式及应用3、分析法和综合法及其思考过程、特点4、反证法及其思考过程、特点5、数学归纳法的原理及应用命题规律合情推理与演绎推理：高考对本部分的考查多以选择或填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，试题的难度以低、中档题为主。演绎推理主要与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合在一起命制综合题。直接证明和间接证明：分析法、综合法和反证法都是重要的数学方法，各自有着鲜明的特色，要注意掌握其证明过程的特点和适用场合。综合法的特点是直接由已知导出结论，分析法
2、则是由结论反推其成立的必要条件，反证法则是先否定结论，待推出矛盾后再肯定结论。高考中的证明题一般都用综合法证明，而分析法一般用作思考方法。反证法是一种较好的证明方法，高考中有时会明确要求使用反证法证明某个结论，但这种题目较少。数学归纳法：应重点掌握证题的两个步骤和一个结论，明确数学归纳法的适用题型（与自然数有关）。在用数学归纳法证明时，应充分理解为证时成立，必须用成立的假设。高考中数学归纳法主要出现在综合题中，要引起足够的重视。考点解读考点1 归纳、类比、演绎推理所谓归纳，就是由特殊到一般，因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律，从而得到一般结论(1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正
3、在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略考点2 综合法、分析法、反证法的应用综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐
4、步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键当一个命题的结论是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器考点3 数学归纳法运用数学归纳法应注意以下三点：(1)时成立，要弄清楚命题的含义(2)由假设成立证时，要推导详实，并且一定要运用成立的结论(3)要注意到时增加的项数考点突破考点1 考点1 归纳、类比、演绎推理典例1 观察下列等式：可以推测：132333n3_(
5、nN*，用含有n的代数式表示)解题思路 第二列的右端分别是12,32,62,102,152，与第一列比较可得解题过程 第二列等式的右端分别是11,33,66,1010,1515，1,3,6,10,15，第n项an与第n1项an1(n2)的差为：anan1n，a2a12，a3a23，a4a34，anan1n，各式相加得，ana123n，其中a11，an123n，即an，an2(n1)2.易错点拨 在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律，从而得到一般结论变式1 已知经过计算和验证有下列正确的不等式：2，2，2，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m，n都成立的条件不等式_点拨 观察所给不等式可
6、以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是2，因此对正实数m，n都成立的条件不等式是：若m，nR，则当mn20时，有2.答案 若m，nR，则当mn20时，有2典例2 在平面几何里，有“若ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为SABC(abc)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为_”解题思路 注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论解题过程 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内
7、切球的半径二维图形中类比为三维图形中的，得V四面体ABCD(S1S2S3S4)r.变式1 已知命题：“若数列an为等差数列，且ama，anb(mn，m，nN*)，则amn”现已知数列bn(bn0，nN*)为等比数列，且bma，bnb(mn，m，nN*)，若类比上述结论，则可得到bmn_.答案 a典例3 数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.解题思路 在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省略，而采取某种简明的推理模式解题过程 (1)an1
8、Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2，(小前提)故是以2为公比，1为首项的等比数列(结论)(2)由(1)可知4(n2)，Sn14(n1)4Sn14an(n2)，(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)易错点拨 （1）问中大前提是等比数列的定义，这里省略了，（2）问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件。变式1 已知函数f(x)(xR)(1)判定函数f(x)的奇偶性；(2)判定函数f(x)在R上的单调性，并证明答案 (1)对xR有xR，并且f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数(
9、2)法一f(x)在R上单调递增，证明如下：任取x1，x2R，并且x1x2，f(x1)f(x2).x1x2，2x12x20，即2x12x20，又2x110,2x210.0.f(x1)f(x2)f(x)在R上为单调递增函数法二f(x)0f(x)在R上为单调递增函数考点2 综合法、分析法、反证法的应用典例1 设a，b，c0，证明：abc.解题思路 用综合法证明，可考虑运用基本不等式解题过程 a，b，c0，根据均值不等式，有b2a，c2b，a2c.三式相加：abc2(abc)当且仅当abc时取等号即abc.易错点拨 综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结
10、论的正确性变式1 设a，b为互不相等的正数，且ab1，证明：4.答案 (ab)2224.又a与b不相等故4.典例2 已知m0，a，bR，求证：2.解题思路 先去分母，合并同类项，化成积式解题过程 m0，1m0.所以要证原不等式成立，只需证明(amb)2(1m)(a2mb2)，即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故原不等式得证易错点拨 注意逆向思考时如何书写，注意格式。变式1 已知a，b，m都是正数，且ab.求证：.答案 要证明，由于a，b，m都是正数，只需证a(bm)b(am)，只需证ambm，由于m0，所以，只需证ab.已知ab，所以原不等式成立典例2 已知
11、函数f(x)ax(a1)(1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数(2)用反证法证明f(x)0没有负根解题思路 第(1)问用单调增函数的定义证明；第(2)问假设存在x00后，应推导出x0的范围与x00矛盾即可解题过程 (1)法一任取x1，x2(1，)，不妨设x1x2，则x2x10，ax2x11，且ax10.所以ax2ax1ax1(ax2x11)0.又因为x110，x210，所以0，于是f(x2)f(x1)ax2ax10，故函数f(x)在(1，)上为增函数法二f(x)axln a0，f(x)在(1，)上为增函数(2)假设存在x00(x01)满足f(x0)0，则ax0，又0ax01，所以01，即
12、x02，与x00(x01)假设矛盾故f(x0)0没有负根易错点拨 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与事实矛盾等方面变式1 已知a，b为非零向量，且a，b不平行，求证：向量ab与ab不平行答案 假设向量ab与ab平行，即存在实数使ab(ab)成立，则(1)a(1)b0，a，b不平行，得所以方程组无解，故假设不成立，故原命题成立考点3 数学归纳法典例2 用数学归纳法证明：tan tan 2tan 2tan 3tan(n1)tan nn(nN*，n2)解题思路 注意第一步验证的值，在第二步推理证明时要注意把假设作为已知解题过程 (
13、1)当n2时，右边22tan tan 2左边，等式成立(2)假设当nk(kN*且k2)时，等式成立，即tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan kk，那么当nk1时，tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan ktan ktan(k1)ktan ktan(k1)1tan ktan(k1)(k1)(k1)(k1)这就是说，当nk1时等式也成立由(1)(2)知，对任何nN*且n2，原等式成立易错点拨 用数学归纳法证明等式时，要注意第(1)步中验证n0的值，如本题要取n02，在第(2)步的证明中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的差角公式变式1 用数学归纳法证明：对任意的nN*，.答案 (1)当n1时，左边，右边，左边右边，所以等式成立(2)假设当nk(kN*且k1)时等式成立，即有，则当nk1时，所以当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切nN*等式都成立典例2 是否存在正整数m使得f(n)(2n7)3n9对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的
