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1、数学建模在初中数学中的应用高明区沧江中学 叶奕新摘要：本文分析了数学建模在初中数学课程中的一些应用，并从自身教学实践出发，总结了在初中数学课中开展建模教学要注意的一些问题。关键词：数学建模 初中数学 应用 建模教学九年义务教育数学课程标准中指出：数学教学要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。这就要求我们在数学教学中，要加强数学建模的教学训练。数学建模是指根据具体问题，在一定的假设下找出解这个问题的数学框架，求出模型的解，并对它进行验证的全过程。众所周知，数学有着广泛的应用，这是数学的基
2、本特征之一。现代生产和科学技术的不断发展，为数学的应用提供了广阔的前景。应用数学的地位日益上升，使数学建模在学校教育中的作用和地位显得越来越重要。在新的数学课程（人教版）中，关于数学建模的例子比比皆是。如：问题1：某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，还是不盈不亏？(七年级上册P93)分析：这是一个实际生活中可以遇到的涉及商品经营中的盈利或亏损问题。乍看这个问题，由于两件衣服的售价相同，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，容量感觉到结果是不亏不盈。解决这个问题，可以引导学生分别设出两件衣服的进价，从而建立用方程表
3、示利润与售价关系的方程的数学模型，求出两件衣服的进价的和，并与售价的和(120元)比较，正确求出答案。问题2：小明想在两种灯中选购一种。其中一种是11瓦(即0.011千瓦)的节能灯，售价60元；另一种是60瓦(即0.06千瓦)的白炽灯，售价3元。两种灯的照明效果一样，使用寿命也相同(3000小时以上)。节能灯售价高，但是较省电；白炽灯售价低，但是用电多。如果电费是0.5元/千瓦时，选哪种灯可以节省费用(灯的售价加电费)？(七年级上册P94)分析：这是一个很有意思的问题，涉及数值的大小比较，并进一步联系到选择方案。解决问题要考虑灯的售价和电费两个因素。通过分析可分别得出表示费用的数学模型(方程)
4、，并由两种费用相等时计算出照明时间，并通过特殊值法推想一般情形(此时学生未学习不等式)，从而确定选择方案。问题3：根据以下条件画一幅示意图，标出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置。小刚家：出校门向东走150米，再向北走200米；小强家：出校门向西走200米，再向北走350米，最后向东走50米；小敏家：出校门向南走100米，再向东走300米，最后向南走75米。（七年级下册P54）分析：这是一个学生在日常生活经常接触到的地理位置问题。解决这个问题，关键在于选择一个适当的参照物（学校）原点，建立直角坐标系，确定比例尺（建立几何模型），从而用点表示出各同学的家和学校的位置。问题4：养牛场原有30只母牛
5、和15只小牛，1天约需用饲料675；一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时1天约需用饲料940。饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需饲料1820，每只小牛1天约需饲料78。你能否通过计算检验他的估计？（七年级下册P113）分析：这是一个有关牛的饲料问题，事实上每只牛所需的饲料有差别，这里为了使问题便于分析解决，考虑的是平均每只母牛和每只小牛一天所需的饲料。问题设置了饲养员根据经验估计出饲料量的情景，并以检验这个估计为问题的要求。这就需要引导学生根据问题中的数量关系，建立关于方程组的数学模型，利用模型求出平均每只母牛、小牛的饲料量，从而对饲养员由经验做出的估计的准确性进行判断。问题5：甲、乙两商
6、店以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费。顾客怎样选择商店能获得更大的优惠？（七年级下册P137）分析：这是一个在市场经济日益发展的现代社会生活中常见的购物问题，需要学生分别考虑累计购物不超过50元、超过50元而不超过100元、超过100元三种情况，在此基础上建立不等式的数学模型，从而得出实际问题的答案。问题6：A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B城往C、D两乡
7、运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，怎样调运总运费最少？（八年级上册P33例6）分析：这是一个关于选择最优运输方案的实际问题，属于线性规划的初级问题。解决这个问题，需要确定影响总运费的最关键的变量，然后建立表示总运费的数学模型-一次函数的解析式，然后分析这个函数式及它的约束条件（自变量取值范围），或分析函数的图象，找出总运费的最小值。问题7：一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间收费；方式B除收月基费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费。如何选择收费方式能使上网都更合算？（八年级上册P43）分析：这
8、是比较不同收费方式的实际问题，可以设上网时间为x分，然后分别建立两种计费方式的函数模型，然后再利用一次函数及其图象做比较，确定在何种条件下应选择何种收费方式。新教材中，那些可用于进行数学建模的情景问题、例题是非常多的，其根本目的是要使学生走出课本，走出传统的习题演练，使他们走入生活、生产的实际中，体会数学的由来、数学的应用，体验到一个充满生命活力的数学；学数学，用数学，架起从生活问题通往数学问题的桥梁。这有利于学生理解并掌握相关的知识与方法，形成良好的数学思维和用数学的意识，激发他们的学习动机，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，获得对数学较为全面的体验与理解，促进一般能力的发展。那么，我
9、们应该怎样进行数学建模的教学呢？在中学数学中，用数学建模解决问题的一般步骤为：实际问题实际情景检验数学结果实际结果数学问题 求解反馈 数学结果 也就是说，我们应该让学生经历“问题情景建立模型解释、应用与拓展”的过程，让学生从具体的问题情境中抽象出数学问题，使用各种数学语言表达问题、建立数学模型、获得合理的解答，并确认知识的学习。具体地说，在“数与代数”的建模教学中，应该让学生在教师的指导下投入解决问题的实践活动，自己去研究、探索，经历数学建模的全过程，从而体会方程、不等式、函数等是现实世界的数学模型，初步领会数学建模的思想方法，提高数学的应用意识和应用数学知识解决实际问题的能力。在“空间与图形
10、”的数学建模教学中，要注重学生从实际背景中抽象出数学模型、从现实的生活空间抽象出几何图形的过程，通过引导学生观察、操作、有条理的思考和推理，从多种角度认识图形的形状、大小、变换和位置关系，发展学生的几何直觉和空间观念；通过观察、操作、图形变换、展开与折叠、图案的欣赏与设计等各种形式的活动，引导学生借助图形直观，通过归纳、类比等方式探索图形的性质，进一步认识图形及其性质，发展空间观念。建立数学模型要经历对实际问题的分析、解剖，将实际问题数学抽象、建立数学模型，经数学方法获解，回到实际问题、成为实际问题的解的过程。学生不易做到更不易做好。这就要求教师要注意引导和调控，并不断帮助学生总结方法与经验。
11、一般来说，教师要注意引导学生做好如下工作：1、 理解。正确地理解问题情境是数学建模的基础。实际问题的题目一般都比较长，涉及名词、概念较多，因此要指导学生耐心细致地读题，深刻理解实际问题的背景，明确建模的目的；弄清问题中的主要已知事项，尽量掌握建模对象的各种信息；挖掘实际问题的内在规律，明确所求结论和对所求结论的限制条件。2、 简化。根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行多角度的思考和必要简化。抓住主要因素，抛弃次要因素，根据数量关系，联系数学知识和方法，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找变量之间的关系，用精确的语言做出假设。3、 抽象。将已知条件与所求问题联系起来，恰当引入参数变量或适当
12、建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子、图形或表格等形式表达出来，从而建立数学模型。在对模型求解、分析以后通常还要用实际现象、数据等检验模型的合理性。例如：某村为增加蔬菜的种植面积，一年中修建了一些蔬菜大棚。平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜等材料的费用为27000元，此外还要购置喷灌设备，这项费用（元）与大棚的面积（公顷）的平方成正比，比例系数为9000。每公顷大棚的年平均经济收益为75000元，这个村一年中由于修建蔬菜大棚而增加的收益（扣除修建费用后）为60000元。 （1）一年中这个村修建了多少公顷蔬菜大棚？ （2）一年中修建2公顷大棚与修建公顷大棚的效益有什么差别
13、？ （3）如果修建3公顷大棚收益如何？ （4）修建大棚的面积越大收益也一定越大吗？（九年级上册P59）本题文字较多，问题情景复杂，涉及的名词、概念和要求解的问题很多，因此在教学时，首先要指导学生仔细读懂题目，明确本题是关于种植面积与收益的问题，然后，可以通过提问等形式使学生明确题中涉及到的量：种植面积，修建材料费用，购置设备费用，单位面积年平均收益，利润（扣除修建费用后的全部收益）。然后，联系实际让学生明确：扣除修建费用的全部收益总收益修建的总费用（材料总费用设备总费用）之后，指导学生设出一年中这个村修建的蔬菜大棚为公顷，扣除修建费用的收益为元，就可用代数式表示出总收益为75000（元），材料
14、费用为27000（元），喷灌设备费用为90002（元），从而可得求解本问题的数学模型：当一年中增加的收益60000（元）时，得一元二次方程解这个方程，得.这两个根都有实际意义。即第（1）小题的答案为“一年中这个村修建了公顷或2公顷的蔬菜大棚”。紧接着，引导学生思考：上述答案说明修建公顷或2公顷的蔬菜大棚的收益相同，但付出的劳动一样吗？从而得出第（2）小题的答案：“收益相同但修建公顷大棚付出的劳动较多，效益较低。”当修建3公顷大棚时，此时3，代入数学模型，得（元），从而求得（3）的答案。第（4）小题的解答富有挑战性，原因是此时学生尝未学习二次函数，可以启发学生用特殊值法推断，分别计算出当5,10时的收益情况，从而得出“修建大棚的面积越大收益不一定越大”这个结论。2006年8月19日初稿2006年10月6日订正参考文献或资料1义务教育 解读 北师大版2义务教育课程标准实验教科书 数学 教师教学用书第七册(上、下)第八册(上)第九册（上）高明区中小学教师教育教学交流论文论文题目：数学建模在初中数学中的应用单位：高明区荷城街道三洲中学学科：数学作者：叶奕新2006-11-8
