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1、十、几何初步知识279什么叫做几何学和几何图形？几何学是数学的一门分科，它是研究物体的形状、大小和相互位置关系的科学，也就是研究现实客观世界空间形式和数量关系的一门科学。在我们的周围世界里，各种物体都具有形状、大小和相互之间的位置关系。例如：课桌的桌面是长方形的，魔方的每个面是正方形的，各种车轮的形状是圆的。魔方有大小之分，魔方的面的大小也是不一样的；汽车有大小，自行车也有大小，同样是车轮，大小也不相同。还应该看到，物体与物体之间，有着相互位置关系。例如：上下关系、前后关系和左右关系等。公元前338年，希腊数学家欧几里得总结了劳动人民在实践中获得的几何知识，并加以系统整理，按照图形在平面或空间
2、的形式，在几何学中分出了“平面几何”和“立体几何”两个分支。由于几何学是研究物体的形状、大小和相互位置关系的科学，根据研究结果加以抽象概括，便产生了几何图形。几何图形是由点、线、面结合而成的，也是点、线、面的集合。一个图形所有的点，都在同一平面内，这样的图形叫做“平面几何图形”，如长方形、正方形、三角形、梯形和圆等图形，都是平面几何图形。如果一个图形的点不全在同一平面内，这个图形就叫做“立体几何图形”，如长方体、圆柱体和圆锥体等图形，都属于立体几何图形。280什么叫做点、线、面、体？ 点：在平面上只有位置，没有大小（即没有长、宽、高），不可分割的。线和线相交于一个点。也可以理解为“点”是“线”
3、的界限。在几何中，用大写字母表示点。如，图中的A点、B点、C点。线：如果两个面相交，就会交出一条线来。也就是面和面相交于线。一张纸对折起来的痕迹就是“线”。也可以理解为“线”是“面”的界限。线有直线和曲线等。如：长方体相邻的两个面相交于一条线（也就是长方体的一条棱），就是直线。圆柱体的侧面和一个底面相交的一条线，就是曲线。线只是面与面相交的界限，它没有大小（即粗细），只有长短，或者说，线只有长，而没有宽和高。面：任何物体都占一定的空间，都是用它的表面和周围分割开来。因此，可以说“体”是由“面”围成的。如：课本的封面、黑板的面、粉笔的截面、水桶的侧面和底面等都是“面”。也可以理解为“面”是“体”
4、的界限。由于面是物体的表面，如果放弃物体的本身，只单独想象物体的表面，这样的面就是几何的面。几何里的面是没有厚度的（即：高），所以，面只有长和宽，而没有高。体：当我们只研究一个物体的形状、大小而不研究它的其它性质（如颜色、重量、硬度等）的时候，我们就把这个物体叫做几何体，简称“体”。例如：一块砖与一个和砖完全一样的纸盒，虽然它们的颜色、重量、硬度以及制作材料都不同，只要它们的形状、大小都相同，就可以认为它们是完全相等的两个几何体。就上述的砖和纸盒来说，它们是两个相同的长方体。281直线、射线和线段有什么不同？直线、射线和线段是易于混淆的三个概念，它们之间也是有联系的，直线是基础，射线和线段是直
5、线概念的发展。它们也是有区别的，这是它们之间的主要方面。首先看直线，一点在空间沿着一定方向和相反方向运动，所成的图形就是直线。一张纸的折痕、双手拉紧的线，都给人以直线的形象。我们把直线看作可以向两方无限延伸的，直线是无头无尾的，即是没有端点的。直线可以用表示它上面任意两点的两个大写字母来表示。例如，直线AB，或直线BA；也可以用一个小写字母表示一条直线。例如，直线l（如下图）。经过一点，可以画无数多条直线，但是,经过两点却只能画出一条直线，这就是直线的基本性质。除此之外，两条直线相交，只有一个交点。其次看射线，在直线上某一点一旁的部分叫做射线。这一点叫做射线的端点。射线的另一端是可以无限延伸的
6、，因此，没有端点。射线只有一个端点；是一条半直线。类似探照灯光和手电筒所射出的光线，都可以看作射线的实际例子。射线通常用表示它的端点和射线上另外一点的两个大写字母来表示，并且把表示端点的字母写在前面。例如，以点O为端点的射线，可以在射线上再取一点A，记作：射线OA（如图）。最后再看线段，直线上任意两点间的部分叫做线段。具有一定长度的拉直了的细绳，可看作线段的实际例子。线段是有长短的，因此可以进行度量。线段通常用表示它的两个端点的大写字母来表示。例如，线段AB，或者线段BA。也可以用一个小写字母表示。例如，线段a（如下图）。在连结两点的所有线中，线段最短。这就是线段的基本性质。282什么叫做“角
7、”？几何中所指的“角”的定义是：从一点画出的两条射线所组成的图形，叫做“角”。这里所说的点（即两条射线的端点），叫做角的“顶点”，构成角的两条射线，叫做角的“边”。角的大小与两边的长短无关，只与角两边的相互位置关系有关。这一点，在初学时很容易混淆，必须引起注意。角用符号“”来表示。如：从图2中可以看到：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而成的。一个角一般有以下三种表示方法：（1）用“”与三个大写字母表示角。如：图3中的角记作：AOB；图4中的角记作：BOC，AOB，AOC。（2）用“”与一个大写字母表示角。这里所指的一个大写字母，应该是角顶上的字母。而且这种用一个大写字母表示角的方法，只适
8、用于单个的角。如图3，用O来表示，如果是具有共同顶点的两个或两个以上的角时，则不能用这种方法来表示角。如图4，如果用O来表示，就表述不清到底O表示哪个角。（3）用“”与一个小写希腊字母或一个数字表示角。例如：下图中的角分别记作：1、2、。283几何中的角可分为哪几种？（1）周角：一条射线绕着它的端点，按逆时针方向旋转，转到这条射线回到它的原来的位置时，就形成了一个周角。如图图中的OA绕它的端点O按逆时针方向旋转，转到这条射线又回来的位置，形成了一个周角。一个周角等于360，一个周角是一个平角的2倍。（2）平角：一条射线绕着它的端点，按逆时针方向旋转，转到和原来位置成为一条直线，这时所成的角，叫
9、做平角。如图图中的射线OA绕它的端点O，按逆时针方向旋转，转到射线OB的位置上（射线OA与射线OB构成一条直线），形成一个平角。一个平角等于180度，记作180。（3）优角：一个大于平角又小于周角的角，叫做优角。优角在小学数学教材中没有出现，但在教学中常常遇到学生提出这样的问题：比周角小又比平角大的角叫什么角？ 181的角是什么角等等。如图优角大于180，小于360。（4）直角：等于平角一半的角，叫做直角。如图直角通常记作“RT”。直角的大小通常用d来表示，这样，平角等于2d，周角等于4d。（5）钝角：一个比平角小又比直角大的角叫做钝角。如图钝角的度数大于90，小于180。（6）锐角：小于直角
10、的角叫做锐角。如图锐角小于90。（7）余角：当两个锐角AOB与BOC之和等于一个直角AOC时，其中一个角BOC叫做另一个角AOB的余角。这两个角叫做互为余角。如图（8）邻角：当两个角有一个公共的顶点，有一条公共的边， 这两个角另外两条边在公共边的两侧，这两个角叫做互为邻角。如图图中的OC是AOC与COB的公共边，AOC是COB的邻角；BOC也是COA的邻角。（9）补角：两个角的和等于平角，这两个角叫做互为补角。也就是说，其中任一个角是另一个角的补角。如图图中的1是2的补角，2是1的补角，或者说，1与2互为补角。（10）对顶角：把一个角的两边分别向相反方向延长，这两条延长线所夹的角，叫做原角的对
11、顶角。如图图中的AOD与BOC、AOB与DOC；两对顶角是相等的。图中的AOD=BOC；AOBDOC；。（11）三线八角：两条直线被第三条直线所截，所得的八个角，叫做三线八角。图中的l1、l2、l3 和1、2、3、4、5、6、7、8就是三线八角。按上述八个角的相互位置，给以下列不同名称：同位角：当形成三线八角时，如果有两个角分别在两条直线的同一方，并且在第三条直线的同一旁，这样的一对角，叫做同位角。如图中的1与5、2与6、4与8、3与7都是同位角。内错角：如果两个角都在两直线的内侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做内错角。图中的6与6、4与5都是内错角。外错角：如果两个角都在两直线
12、的外侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做外错角。图中的1与8、2与7都是外错角。同旁内角：如果有两个角都在两条直线的内侧，并且在第三条直线的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁内角。图中的3与5、4与6都是同旁内角。同旁外角：如果有两个角都在两条直线的外侧，并且在第三条直线的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁外角。图中的1与7、2与8都是同旁外角。284垂直和垂线有什么不同？垂直和垂线是两个不同的概念。垂直的含义是：两条直线相交成直角，这两条直线叫做互相垂直。图中的直线AB与直线CD相交于O，并且它们所成的角等于90，因此，直线AB与CD互相垂直。在两条相互垂直的直线中，其中一条直线叫做
13、另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。垂直通常用符号“”来表示。如图中的AB垂直于CD，可记作ABCD，读作AB垂直于CD。有时为了把垂足也表示出来，也可以写作 ABCD于O，读作： AB垂直于CD于O点。垂线还具有以下两个性质：（1）经过一点且只有一条直线垂直于已知直线；（2）从直线外一点到这条线上的各点所连结的线段中，和这条直线垂直的线段最短。画垂线时的要点是什么？通常画垂线所借助的工具有两种：一种是借助“三角板”画垂线；另一种是借助“直尺、圆规”来画垂线。用三角板画一条直线的垂线，一般所给的条件有两种：（1）过直线外一点画这条直线的垂线。（2）过直线上的一点画这条直线的垂线。如图：例如：
14、已知点P是直线AB外的一点，用三角板过P点作PO垂直于AB。如图，把三角板一条直角边靠在直线AB上（即把三角板的一条直角边与直线AB重合），并沿AB移动，使另一条直角边靠上P点，固定住三角板，并用铅笔沿着这另一条直角边画一条直线PO，直线PO与直线AB交于O点，这样，PO就是直线AB的垂线。用一个三角板作垂线时，往往在接近垂足O点处的一段不容易作得很好。可以采用另一种方法，如图所示：用两个三角板，把一个三角板（如虚线中的三角板）先固定住，然后把另一个三角板与它靠紧，再拿去第一个三角板，固定住第二个三角板，用铅笔沿着第二个三角板的一条边（靠上P点的一条边）画一条直线PO。这种方法的关键是第二个三角板靠P点的一条边与直线AB相交，因此，在垂足O处，可以画得准确些。又如：已知点P是直线AB上的一点，用三角板过P点作PC垂直于直线AB。如图：如图，把三角板的一条直角边靠在直线AB上，沿着AB移动，使另一条直角边靠上P点（即直角顶点靠上P点）时，把三角板固定，并且用铅笔沿这另一条直角边画一条直线PC与直线AB相交于P点，则PC是AB的垂线。与上例相同，也可以按图所示，用两个三角板，当第一个三角板的一条直角边靠在直线AB上，沿AB移动到另一条直角边靠上P点时
