浅谈导数在数学中的应用

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1、 浅谈导数在数学中的应用学生姓名：王敏 指导教师：张铭泽 一、引言微积分学，是人类思维的伟大成果之一，在数学领域中占据着主导地位，而微分依赖于导数，这使得导数成为初、高等教育的一种特别有效的工具。导数来源于求曲线在一点处的切线和运动物体在某时刻的瞬时速度，也就是说导数是函数的变化率，它的引入为解决数学问题提供了新视角、新方法，它的应用使得我们在处理问题时达到简单、方便、高效的目的，那么下面就应用导数这种工具来具体研究的方程、函数的性、函数、函数、曲线及拐点等问题。二、 导数在数学中的应用（一）导数在求曲线的方面的应用的概念是纯粹从方面来刻画变化率的本质，它反映了随的变化。比如质点作，它在任意一

2、处速度的是沿着切的，而切在几何上的定义就是曲线的的极置。因此，的几意义就是在几何上表示曲在处的线的率，即，其中是切的。那么结合的点程可得，曲的切程为：。例1.求线在处切线的.分析：这主要是根据的几义来求出切.解：由得所以切线的斜率为故切线的切程为：即.（二）在函数的性方面的应用在中学我们常常借助的图像和的定义判断一些简单函数的性，而对于繁杂而艰难的数，我们通常以为工具对数的性进行判断。1.用一阶的符号判断性的理据（1）如果在间内，总有，则在此区间是数，的区间；如果在间内，总有，则在此间是数，的间；如果函数在区间内，总有，则为常数。（2）设在某个区间内，如果在该区间内，则在该区间内有；如果在该间

3、内，则在该区间内有。2.利用判断性的骤 求出函数的 在的定义域内和 根据(2)的结果得出函数的单调性及其例2.判断下列的性及其.（1）（2）分析：本题是利用判断函数的性、求函的单间，在解题中要注意函数的，全面讨论。对于含的注意要使用分类的思法即(2)要根据的情况判断的性.解：（1）函数的定义域为，令即 解之得令即 解之得故的单调为，单调为.（2） 当时，其区间，区间. 当时， 令，则即 故的增区间为,减区间为.综上：当时，递增区间为，递减区间为； 当时，递增区间为，递减区间为.（三） 在函数的方面的应用1.函数的与的关系如果，并且在附近的侧，那么是极大值，如果，并且在附近的侧，那么是极小值。2

4、.利用求解函数的依据函数的求得函数的函数得出的根，根据方程的的情况，连续将的定义域划分成若干个间，并制成由在方程的根的左右的符号，来判断在在这个根处取极值的情况，在判断中我们要特别注意导数等于零的点不一定是极值点，可导点一定是等于的点。例3.设与是的两个.(1) 试确定常数的值；(2) 试判断与是的点还是值点，并说由.分析：利用点与的关系，建立由点与所确定的相关，运用待定法确定的值，再利用的定义进行.解：（1）由极值点的必要条件可知：解方程组得.（2） 由（1）得 函数的定义域为 、随的变化情况如下表：当时，有极小值；当时，有极大值.总之，的概念是一个性念，如果一点处的比它附近的函数大（小），

5、这一点的函就是大（小）值。（四）在函数的方面的应用在经济管理、工农业生产、工程技术和科学实验中，经常要面临最优规划、最优设计、最优决策及资源的最有利用等优化。这类问题体现在上通常可为：在一定下，求某一的问题。下面我们分种情形来问题。1. 闭区间上连续的（1）函数的与的关系一般地，如果在闭区间上的像是一条的曲线，那么它必有值和，如果在区间上函数的是一条连续不断的，那么她不一定存在，如果在区间上只有一个点，那么这个点必定是点。 （2） 求解函数的 求在内的 求点的函、 比较各与、的大小，其中最的就是最，最的就是为值例4.求函数，的.分析：求数，令，然后列表的号，从而求得的值.解：令即解之得：或（舍

6、）当变化时，的变化情况如下表：1当时，有值， 在上，函数无值.2.实际应用问题中的最值在实际应用中，经常提出并需要解决最优化问题，其中解决优化问题的基本思路：首先要材料，理意，实际把它概括成问题，利用知识相应的，使用概括性地表示出所出来的，利用知识对进行、研究，如通过使用导数的性质理论有效的解决数学问题进而得出数学结果，然后结合实际问题对所得的数学结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定问题的答案，从而解决优化问题。（1）在解决用料最省、费用最低等最小值问题中的应用例5.已知、两地200千米，一只船从地水到地，水为8千米每小时，船在中的速度为千米每小时。若船每小时的与其在中的速度

7、的平方比，当千米每小时时，每小时的为720元，为了是全程最省，的实际速度为多少呢？分析：要求使用的用最省，实际就是求的最小。解：设每小时的用为，比例为，则当时，所以得设全程为，由题意知令则当时，可以证明是函数；是函数所以时，即时，即在上为函数当时所以当时，千米每小时时，全程的最，为32000元；当时，则时全程的用最，为元。（2）在解决利润最大、效率最高等最大值问题中的应用例6.已知某与量关系式为：，格与量之间的关系式为：，求量为何值时，最大。分析：等于减去，而入等于乘，由此可得出与的关系式，再用求最大。解：解法一、 收入 令,即=0 解得 因为当时，；当时， 所以当时，取得最大值. 解法二、同

8、解法一可得 所以当时，取得最大值782答：产量为84时，利润最大. 在问题中，通常根据问题的就可以断定可导的值或值，而且一定在定义内部取得，不符合意义的值应。(五) 在方面的应用 1.方程的的的讨论在利用导数讨论曲线交点或函数的零点个数的应用中，基本方法就是先求出导数的极值点及其极值，把握在定义域内的各个区间的性、函数在点处的值以及变化时函数的趋势，据此可画出的大致。根据函数的，利用定理，确定实数（曲线的点、函数的点）的。例7.已知函数，求的以及的.思路分析：先求出的，再根据及的画出的大致.解：由已知得令解之得，结合函数的性以及可做出图形，如下：1+00+极大值极小值所以的值是=，值是当时；当

9、时令得或结合函数的性以及可做出图形，如下：当变化时，的如下表：由函数的图像可知的与有3个，即有3个.2.方程的的的研究方程的的的证明:（1）证明其存在一个（2）证明其只有一个例8.证明在内有唯一解.证明：先证明存在一个作辅助函数显然在上连续，又因为故由零点定理知，存在使，即故在内存在一个.再证有一令，求导得可知，在内单调，因而有一.（六）导数在的中的应用在利用对证明中，常常要构造一个，通过构造方程来促成问题的也就是说将不等式的的一边移到另一边，然后将这个式子令为一个f(x). 对所构造函数，判断这个在各个区间的性，然后证明其最值（或者是值）大于0. 这样就能说明原了成立了。例9.求证：当时，.

10、分析：本题是从证明本身出发，构造相应的关系式，利用的性与的关系来加以.解：令，又因为函数在处连续，在上是数，从而当时，.（七）导数在曲线的与方面的应用函数可以提供变化规律的直观，在的单调增加或减小过程中，它出的不仅仅是曲线或的问题，还有一个方向的问题。对于问题，我们从看到，如果任取两点，则连接这两点间的弦总位于这两点间的的上方或者取这条曲线的且在它的下方，则这条曲线是，的特征恰好相反，这种性质就是曲线的。利用一阶的符号来判断函数的性，同时二阶的符号则可以判断曲线的性。（1）判断性的设函数在区间上，在 内具有二阶，那么若在内，则在上的是的，若在内，则在上的是的。另外，如果在区间上，为的，如果上的

11、点为曲线与的分界点，则称其为的。通过研究得出，如果的存在的话，往往在二阶为或处出现，但是反过来二阶为或的点不一定为的。（2）判断的和的 求出的及、 解出的点 用以上种点将划分成若干个，在各个上判断的，以确定函数在各区间上的 对每个二阶为或者的点，观察其两侧曲线的是否改变，以判断其是否为例10.判断函数的，并求.分析：先判断函数的，根据一阶、二阶来确定函数在各区间上的、判断.解：函数的定义域，令，解得，当时不存在列表：-不存在-+凸的无拐点凸的拐点凹的故因此，拐点为.三、 小结 随着科学技术的迅猛发展以及改革的不断深入，作为一种，在解决问题时使用非常方便，尤其是可以利用来解决函数的性，最值,切线

12、问题等。在的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学转归思想的应用，解题思路，简化过程，达到优化解题，提高解题的活性和确性的目的。事实上，本文仅仅论述了在求曲线的方程，函数的性、值、凸性、拐点，求方程的等方面的应用，在广阔的学领域中有着广泛的应用，因此我们需要不断关注应用的新向，只有这样，才能展思路增强新意识，提高析问决问题的。 参考文献：【1】张顺燕. 数学的思想、方法和应用【M】.北京：北京大学出版社，2004.06【2】蒋定华等.高等数学（第一册）【M】.北京：化学工业出版社，1982.04【3】葛云飞等.高等数学教程【M】.北京：北京交大出版社，2006.【4】隋如彬.微积分（经管

13、类）【M】.北京：科学出版社，2007.08【5】李桂省.导数的应用【N】.燕赵都市报学习版，2007.3.23致 谢本论文是在张铭泽老师的精心指导和悉心关怀下完成的。在写论文的过程中，遇到了许多的困难，对于这些困难，老师尽最大可能给予帮助，予以指导，才使论文能够按时完成。从论文的选题到论文成型再到论文的完成，张老师都给了莫大的帮助，张老师在指导过程中体现出的治学态度和严谨的思考问题的逻辑方法也使我受益匪浅，在此向张老师表达我最衷心的感谢和崇高的敬意！同时还要感谢一起做论文的同学，在做论文的过程中，同学一起讨论，一起研究，给了不少宝贵的建议，在讨论导数的应用时，更是互相帮助，使的论文能够顺利进行并完成。在遇到一些自己不能解决的问题时 ，在老师与同学的共同探讨下，都能找到一丝解决问题的思路，让我深刻体会到集体的力量是伟大的!这段同舟共济的这段美好时光将永远留在我的记忆深处!最后也感谢我的父母，他们在学习和生活上给予我无私的理解和支持，让我能够在学校专心完成我的学业，顺利做完毕业论文！通过本次经历，在以后的学习工作中，更要牢记对待困难要迎韧而上，不妥协，同时积极的找办法解决问题，才能取得最后的成功，路漫漫其修远兮，在未来的人生路上我将继续努力!11