圆锥曲线与向量的综合性问题.doc

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1、圆锥曲线与向量的综合性问题一、常见基本题型: 在向量与圆锥曲线相结合的题目中,主要是利用向量的相等、平行、垂直去寻找坐标之间的数量关系,往往要和根与系数的关系结合运用。(1) 问题的条件以向量的形式呈现,间接的考查向量几何性质、运算性质,例1、设,点在轴的负半轴上,点在轴上,且 当点在轴上运动时,求点的轨迹的方程; 解:(解法一),故为的中点 设,由点在轴的负半轴上,则 又, 又, 所以,点的轨迹的方程为 (解法二),故为的中点 设,由点在轴的负半轴上,则 - 又由,故,可得 由,则有,化简得: 所以,点的轨迹的方程为 例2、已知椭圆的方程为,它的一个焦点与抛物线的焦点 重合,离心率,过椭圆的

2、右焦点作与坐标轴不垂直的直线,交椭圆 于、两点 (1)求椭圆的标准方程; (2)设点,且,求直线的方程; 解:()设椭圆的右焦点为,因为的焦点坐标为,所以 因为,则, 故椭圆方程为: ()由(I)得,设的方程为()代入,得, 设则, 所以直线的方程为 (2)所求问题以向量的形式呈现 例3、已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点,离心率是 (1)求椭圆E的方程; (2)过点C(1,0),斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点,请问x轴上 是否存在点M,使为常数?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请 说明理由。 解:(1)根据条件可知椭圆的焦点在x轴, 且 故所求方程为即, (2)假设存在点M

3、符合题意,设AB:代入 得: 则 要使上式与无关,则有 解得,存在点满足题意。 例4、线段过y轴上一点,所在直线的斜率为,两端点、 到y轴的距离之差为. ()求出以y轴为对称轴,过、三点的抛物线方程; ()过该抛物线的焦点作动弦,过、两点分别作抛物线的切线,设 其交点为,求点的轨迹方程,并求出的值. 解:()设所在直线方程为,抛物线方程为, 且, ,不妨设, 即 把代入得 , 故所求抛物线方程为 ()设, 则过抛物线上、两点的切线方程分别是 ,两条切线的交点的坐标为设的直线方程为,代入得 故的坐标为点的轨迹为 而 故 (3)问题的条件及待求的问题均已向量的形式呈现 例5、在直角坐标系xOy中,

4、长为的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上 滑动,记点P的轨迹为曲线E (I)求曲线E的方程; (II)经过点(0,1)作直线l与曲线E相交于A、B两点,当点 M在曲线E上时,求的值 解:()设C(m,0),D(0,n),P(x,y)由,得(xm,y)(x,ny),得 由|1,得m2n2(1)2,(1)2x2y2(1)2,整理,得曲线E的方程为x21 ()设A(x1,y1),B(x2,y2),由,知点M坐标为(x1x2,y1y2)设直线l的方程为ykx1,代入曲线E方程,得(k22)x22kx10,则x1x2,x1x2 y1y2k(x1x2)2,由点M在曲线E上,知(x1x2)21,即1,解得

5、k22 这时x1x2y1y2x1x2(kx11)(kx21)(1k2)x1x2k(x2x2)1,(xy)(xy)(2x)(2x)42(xx)(x1x2)242(x1x2)22x1x2(x1x2)2,cos, 二、针对性练习 1. 已知圆M:及定点,点 P是圆M上的动点,点Q在NP上,点G在MP上, 且满足(1)求点G的轨迹C的方程;(2)过点K(2,0)作直线与曲线C交于A、B两点, O是坐标原点,设 ,是否存在这样的直线使四边形OASB的对角 线相等?若存在,求出直线的方程; 若不存在,说明理由. 解:(1)由为PN的中点,且是PN的中垂线, 点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆,又 (2) .

6、四边形OASB为平行四边行, 假设存在直线1,使四边形OASB为矩形 若1的斜率不存在,则1的方程为 由0. 这与相矛盾, 1的斜率存在. 设直线1的方程 ,化简得: 由 存在直线1:或满足条件. 二、针对性练习1.已知过抛物线的焦点,斜率为的直线交抛物线于, ()两点,且(1)求该抛物线的方程;(2)为坐标原点,为抛物线上一点,若,求的值 解:(1)直线AB的方程是,与联立, 消去,得,所以, 由抛物线定义得:,所以p=4, 抛物线方程为: (2)由p=4,化简得, 从而,从而A(1,),B(4,)设=, 又因为,即8(4),即,解得2、在平面直角坐标系内已知两点、,若将动点的横坐标保持不变, 纵坐标扩大到原来的倍后得到点,且满足.()求动点所在曲线的方程;()过点作斜率为的直线交曲线于、两点,且, 又点关于原点的对称点为点,试问、四点是否共圆?若共 圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请说明理由. 解()设点的坐标为,则点的坐标为,依据题意,有 动点所在曲线的方程是 ()因直线过点,且斜率为,故有 联立方程组,消去,得 设、,可得,于是. 又,得即 而点与点关于原点对称,于是,可得点 若线段、的中垂线分别为和,则有 联立方程组,解得和的交点为 因此,可算得所以、四点共圆,且圆心坐标为半径为

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