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1、 第八节曲线与方程【考纲下载】了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系1曲线与方程一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线曲线可以看作是符合某条件的点的集合,也可看作是适合某种条件的点的轨迹,因此,此类问题也叫轨迹问题2求曲线方程的基本步骤1若曲线与方程的对应关系中只满足(2)会怎样?提示:若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”,则以这个方程的解为坐标的点的集合形成的曲线可能是已知曲线的一部分,也可
2、能是整条曲线2动点的轨迹方程和动点的轨迹有什么区别?提示:“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的,前者只需求出轨迹的方程,标出变量x,y的范围;后者除求出方程外,还应指出方程表示的曲线的图形,并说明图形的形状、位置、大小等有关数据1已知命题“曲线C上的点的坐标是方程f(x,y)0的解”是正确的,则下列命题中正确的是()A满足方程f(x,y)0的点都在曲线C上B方程f(x,y)0是曲线C的方程C方程f(x,y)0所表示的曲线不一定是曲线CD以上说法都正确解析:选C因为曲线C可能只是方程f(x,y)0所表示的曲线上的某一小段,因此只有C正确2已知曲线C的方程为x2xyy50,则下列各点中,
3、在曲线C上的点是()A(1,2) B(1,2)C(2,3) D(3,6)解析:选A将四个点的坐标一一代入曲线C的方程,只有A选项成立,因此(1,2)在曲线C上3函数y的图象是()A抛物线 B圆的一部分C抛物线的一部分 D以上都不是解析:选C函数y的定义域是x0,值域是y0,则y,即y24x(x0),所以函数y的图象是顶点在原点,开口向右的抛物线位于x轴上方的部分4已知M(2,0),N(2,0),|PM|PN|4,则动点P的轨迹是()A双曲线 B双曲线左支C一条射线 D双曲线右支解析:选C根据双曲线的定义知动点P的轨迹类似双曲线,但不满足2c2a0的条件,故动点P的轨迹是一条射线5设定点F1(0
4、,3),F2(0,3),动点P满足条件|PF1|PF2|a(a0),则点P的轨迹是()A椭圆 B线段 C不存在 D椭圆或线段解析:选D当a3时,点P的轨迹是线段,当a3时,点P的轨迹是椭圆 方法博览(七)利用参数法求轨迹方程在求点的轨迹方程时,有时求动点应满足的几何条件不易求得,也无明显的相关点,但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个或两个变量(如斜率、比值、截距或坐标等)的制约,即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另外变量的变化而变化,我们称这些变量为参数,建立轨迹的参数方程,这种方法叫参数法典例(20xx福建高考)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(
5、10,0),点C的坐标为(0,10)分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,A9和B1,B2,B9,连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(iN*,1i9)(1)求证:点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N,若OCM与OCN的面积比为41,求直线l的方程解题指导(1)设Ai的坐标为(i,0),则Bi的坐标为(10,i),可用i表示点P的坐标,得出P的参数方程(2)设直线l的斜率为k,将直线l的方程与抛物线的方程联立,寻找M,N两点坐标之间的关系,再由面积之比即可求出k的值解(1)法一:依题意,过
6、Ai(iN*,1i9)且与x轴垂直的直线的方程为xi,Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程为yx.设Pi的坐标为(x,y),由得yx2,即x210y.所以点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x210y.法二:点Pi(iN*,1i9)都在抛物线E:x210y上证明如下:过Ai(iN*,1i9)且与x轴垂直的直线的方程为xi, Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程为yx.由解得Pi的坐标为.因为点Pi的坐标都满足方程x210y,所以点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x210y.(2)依题意知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为ykx10.由得x210kx1000,此时100k24000,直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M,N.设M(x1,y1),N(x2,y2),则因为SOCM4SOCN,所以|x1|4|x2|.又x1x20,所以x14x2,分别代入和,得解得k.所以直线l的方程为yx10,即3x2y200或3x2y200.点评参数法求轨迹方程的步骤:(1)选取参数k,用k表示动点M的坐标;(2)得出动点M的参数方程为(3)消去参数k,得M的轨迹方程;(4)由k的范围确定x、y的范围.