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1、极限理论在数学分析中地位与作用摘要极限理论是数学分析的基本理论，极限概念是极限理论的核心。作为微积分的基础，极限理论包括函数极限和数列极限。本文从连续、导数、定积分、以及级数的收敛性等方面求解极限，深入探索了极限问题所涉及的各个方面。首先从定义入手，找出函数极限与数列极限的联系，进而运用极限的性质、判定准则、柯西极限理论、迫敛性等方法求解不同类型的函数、数列极限。在极限定义的基础上,提供了又一种求解极限的方法，即无穷小量替换法求解极限。同时例举了几类特殊极限，对其求解计算，总结出一些重要规律及相关结论。这些结论奠定了极限理论在数学分析中的地位与作用，为后继的学习与研究极限提供更好的判别方法和更
2、完整的理论体系，对数学分析具有重大意义。关键词： 极限；数列；函数；定积分；判定准则 The status and role of the limit theory in mathematical analysisABSTRACT Limit theory is a mathematical analysis of the basic theory, the concept of limit is the core of the theory of limit., This article from the continuous derivative, the definite integra
3、l, and the convergence of the series such as solving the limit, the limit problem involved in all aspects of in-depth exploration. First of all start from the definition, find the limit of a function with the series limit contact, and thus the use of the limits of nature, criteria, Cauchy limit theo
4、ry, forcing convergence method for solving different types of function, sequence limit. Solving the limit on the basis of the limit defined that infinitesimal substitution method for solving the limit. While examples of the types of special limit to get the solution calculated, summed up a number of
5、 important laws and relevant conclusions. These conclusions are laid limit the status and role of theory in mathematical analysis, to better discrimination method and more complete theoretical system limit for the subsequent study and research, mathematical analysis is of great significance.Key word
6、s: The limit, ordered series of numbers, Function, Definite integral, Determine the conditions目录1 引言42 极限的思想渊源与发展史52.1 极限的思想及历史52.1.1 最早的无限分割思想62.1.2. 西方的穷竭法与中国的割圆术62.1.3. 斯杰文对穷竭法的简化和瓦里斯的算术化93 极限的相关理论103.1 极限概念的逐步形成103.2 极限概念的完善10函数极限12数列极限153.3 极限理论的确立16波尔查诺的工作163.3.2 柯西的极限理论173.3.3 维尔斯特拉斯的静态理论174
7、数学分析中极限的作用174.1 函数的连续194.2 数列的收敛性214.2.1 唯一性214.2.2 有界性224.3 导数是特殊的极限225 极限的计算245.1 利用导数的定义245.2 利用初等函数的连续性245.3 数列极限255.3.1 利用函数极限求数列极限255.3.2 利用定积分求数列极限255.4 函数极限265.4.1 利用迫敛性求函数极限26利用罗比达法则求函数极限265.4.3 利用泰勒级数展开式求函数极限275.4.4 利用中值定理求函数极限275.4.5 利用定积分的定义求函数极限285.4.6 利用等价无穷小替换求函数极限285.4.7 利用收敛级数的必要条件求
8、函数极限285.5利用级数收敛的必要条件求极限285.6.将数列的极限化为定积分296 结论307 参考文献30致谢311 引言数学分析课程的极限理论是人类二十世纪的伟大发现，是人类智慧的丰碑。数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分。在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的，可以说，没有极限理论就没有微积分。数学分析是近代数学的基础,是现代科学技术中应用最广泛 的一门学科,是师范院校数学专业的一门主干基础课。极限概念是数学 分析中最重要的概念之一,数学分析中几乎所有重要的概念,如连续、导数、定 积分、重积分、曲线积 分、曲面积分以及级数的收敛性
9、等定义都建立在极限的基础上。极限理论是数学分析的基础理论,极限思想贯穿整个数学分析学科。学生学习数学分析时要掌握的第一个重要概念就是极限概念。然而,极限概念叙述冗长,概念中的符号关系复杂,不易理解。初入数学分析门扉的读者,都感觉极限概念不好捉摸,极限的精确定义不易理解。本文就极限思想的形成与发展、学生在学习极限概念时感到困惑的原因以及在教学中如何把握和理解极限概念、极限的相关理论、极限的性质、计算等方面给予阐述。2 极限的思想渊源与发展史2.1 极限的思想及历史以希腊为代表的古代西方数学，为现代数学的发展奠定了一定的基础。早在公元前六世纪,希腊的毕达哥拉斯学派即认为数学不仅是解决现实问题的有力
10、工具，更是认识宇宙自然的钥匙。其代表人物毕达哥拉斯Pythagoras,公元前572-497）认为：“数是万物的本质，宇宙的组织在其规定中通常是数及其关系的和谐的体系”。“万物皆数”是毕氏学派信仰的原则。“数”，在希腊人的概念中指的是“正整数”，甚至对于这种形式并不看作分数，而是看作一个单一的实体。即希腊人认为，比仅是一个有序对而不是一个有理数，这种关于数的离散的概念，常被应用于几何量，如长度、面积和体积。特别地，毕氏学派相信任何两条线段都是可以公度的。即：它们都是某一公共长度单位的倍数。根据这样的假设，对于整数比和比的理论是不难推广的，尤其是运用于几何学中的比例关系，其结果可以证明的。由这一
11、概念出发，希波克拉茨（Hippocrates,约公元前470430）证明了两圆面积之比等于他们的直径平方之比。他所使用的证明方法，可能是使两圆之内接相似多边形的边数无限增加来“穷竭”两圆的面积，推出上述结果。这时，还未出现极限概念来作为本质上是无穷小的论证的依据。由于不可公度量的发现，例如正方形的边和对角线，二者不能分成长度相等的线段的整数倍。因此它们的长度之比不能等于两个整数之比。即不可公度量的发现意味着存在一些不能用数来度量的几何量。所以我们清晰的看到，在希腊，人们在数量观的概念上其本质是离散的！然而，存在不可公度的长度意味着几何量具有某种固有的、不可避免的连续的性质！正因如此，毕氏学派的
12、整数比例理论在这里已无法应用，几何基础出现了危机。希腊学者欧多克斯（Eudoxus ,公元前408355）创造了几何量之比成比例的定义，使希腊数学从有理整数域向有理数域迈进了一大步。欧多克斯成功的关键是给出了一个适当的定义：定义 设和 是同类的一对几何量,和 是另一对几何量(不一定 与前对同类),如果当和成 比例时,则 有若给定任意两正整数 和时,则下列关系之一成立: 和或 和或 和可以看出,欧多克斯的几何量之比成比例的定义，只不过是不得不用一种繁琐的方式隐涵其有理数之 比的显然的事实。而且还可看出，当给定两个不可公度的量与时，由定义实质上已将全体有理数划分为两个不想交的集合和.对于集合，式成
13、立，即;对于集合,(3)式成立，即.这样把全体有理数划分为两个不相交的集合与，使得的每一个元素都小于中的每一个元素的这种分割方法，即十九世纪的所谓“狄德金分割”。不过当时欧多克斯并未意识到这一点，但他却以此为基础，较严格地证明了希波克拉茨关于圆的面积的命题的结果。中西方的极限思想为了后来极限的发展奠定了一定的基础。 最早的无限分割思想在我国古代, 战国时代的庄子.天下篇中, 有一尺之棰, 日取其半, 万世不竭的名言。意是所余部分总可一分为二,永远取不完。是公元前三世纪以前的事.还较早一点,古希腊的安提丰( Antiphon, 公元前五世纪) 提出了通过边数不断加倍的方法, 用圆的内接正多边形面
14、积去接近圆的面积. 但当时仅仅是一种设想,并未付诸计算。然, 这归结于圆可以无限分割。当注意,无限分割是一种数学抽象, 是一个哲学概念,它被排斥于感觉经验王国之外,因为感官能力为感觉下限所限。表示: 远在两千多年以前, 人类智慧已意识到连续量无最小区间可言。. 西方的穷竭法与中国的割圆术对安提丰的思想作出重大发展的是欧多克斯( Eudoxus, 公元前 408- 前 355) 。提出如下著名原理: 对于两个不等的量, 若从较大量减去大于其半的量, 再从所余量减去大于其半的量, 重复这一步骤, 则所余量必小于原来较小的量 ,这就是现代所谓阿基米德公设的前身。公设的现代表述是已知任二正数, 总存在
15、自然数, 使得, 可证这两种表述是等价的.由欧多克斯提出, 欧几里德( Euclid, 约公元前330- 前275 ) 发扬光大并广为应用, 阿基米德( Archimedes, 公元前 287- 前 212) 继续作出重大贡献的这种方法( 17 世纪时被人称为穷竭法), 其理论基础就是阿基米德公设, 在论证过程中最后运用双重归谬法。下举一例以明之.为证两圆面积与它们直径的平方成正比(欧几里德, 卷 2) , 用穷竭法的证明如下: 设大小圆面积分别是和,其直径分别是和.若比例式不成立, 则存在, 使, 其中为另一个比小( 或大)的园的面积. 若,则可在面积为的圆内作一面积为的内接多边形, 使 ( 根据阿基米德公设, 可使) . 在面积为 A 的圆内作出与上述多边形相似的内接多边形, 设其面积为. 则有.因 , 故导出这不合理. 同理可证 会导致矛盾。难看出,在上面的证明过程中,除用到相似多边形的面积比等于对应线段之平方比这一性质外,就是用阿基米德公设与双重归谬法。在逻辑上是十分严密的。述问题的功绩在于证明了圆的面积,其中为常数。基米德本人运用穷竭法,从圆的内接和外切正 6 边形算起,直到内接与外切正96 边形,证明了已精确到小数点后两位。竭法的基本思路标志着极限概念的轮廓已在古希腊问世。如,设一园半径为
