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1、第七节 线性方程组的应用本节中的数学模型都是线性的,即每个模型都用线性方程组来表示,通常写成向量或矩阵的形式由于自然现象通常都是线性的,或者当变量取值在合理范围内时近似于线性,因此线性模型的研究非常重要此外,线性模型比复杂的非线性模型更易于用计算机进行计算分布图示 引 言 网络流模型 例1 人口迁移模型 例2 电网模型 例3 配平化学方程式 例4 内容小结 课堂练习 习题3-7内容要点 一、网络流模型网络流模型广泛应用于交通、运输、通讯、电力分配、城市规划、任务分派以及计算机辅助设计等众多领域。当科学家、工程师和经济学家研究某种网络中的流量问题时,线性方程组就自然产生了,例如,城市规划设计人员
2、和交通工程师监控城市道路网格内的交通流量,电气工程师计算电路中流经的电流,经济学家分析产品通过批发商和零售商网络从生产者到消费者的分配等. 大多数网络流模型中的方程组都包含了数百甚至上千未知量和线性方程. 一个网络由一个点集以及连接部分或全部点的直线或弧线构成. 网络中的点称作联结点(或节点),网络中的连接线称作分支. 每一分支中的流量方向已经指定,并且流量(或流速)已知或者已标为变量.网络流的基本假设是网络中流入与流出的总量相等,并且每个联结点流入和流出的总量也相等. 例如,下面两图分别说明了的流量从一个或两个分支流入联结点,分别表示从其它分支流出的流量,表示从其它分支流入的流量. 因为流量
3、在每个联结点守恒,所以有和. 在类似的网络模式中,每个联结点的流量都可以用一个线性方程来表示. 网络分析要解决的问题就是:在部分信息(如网络的输入量)已知的情况下,确定每一分支中的流量. 二、人口迁移模型在生态学、经济学和工程学等许多领域中经常需要对随时间变化的动态系统进行数学建模,此类系统中的某些量常按离散时间间隔来测量,这样就产生了与时间间隔相应的向量序列其中表示第次测量时系统状态的有关信息,而常被称为初始向量 如果存在矩阵,并给定初始向量,使得,即 ( ) (*)则称方程(*)为一个线性差分方程或者递归方程人口迁移模型考虑的问题是人口的迁移或人群的流动但是这个模型还可以广泛应用于生态学、
4、经济学和工程学的许多领域. 这里我们考察一个简单的模型,即某城市及其周边郊区在若干年内的人口变化的情况该模型显然可用于研究我国当前农村的城镇化与城市化过程中农村人口与城市人口的变迁问题. 设定一个初始的年份,比如说2002年,用分别表示这一年城市和农村的人口设为初始人口向量,即, 对2003年以及后面的年份,我们用向量表示出每一年城市和农村的人口. 我们的目标是用数学公式表示出这些向量之间的关系假设每年大约有5的城市人口迁移到农村(95仍然留在城市),有12的郊区人口迁移到城市(88仍然留在郊区), 如图下图所示,忽略其它因素对人口规模的影响,则一年之后,城市与郊区人口的分布分别为: ,.因此
5、,2003年全部人口的分布为 即 其中称为迁移矩阵. 如果人口迁移的百分比保持不变,则可以继续得到2004年,2005年,的人口分布公式: ,一般地,有 () 这里,向量序列描述了城市与郊区人口在若干年内的分布变化. 注:如果一个人口迁移模型经验证基本符合实际情况的话,我们就可以利用它进一步预测未来一段时间内人口分布变化的情况,从而为政府决策提供有力的依据关于这个问题我们放到第四章的第五节来研究.三、电网模型一个简单电网中的电流可以用线性方程组来描述并确定,本段将通过实例展示线性方程组在确定回路电流中的应用. 电压电源(如电池等)迫使电子在电网中流动形成电流当电流经过电阻(如灯泡或者发动机等)
6、时,一些电压被“消耗”根据欧姆定律,流经电阻时的“电压降”由下列公式给出: 其中电压、电阻和电流分别以伏特(记作)、欧姆(记作)和安培为单位下图中的电网连接了三个闭回路回路1,2和3中的电流分别用表示回路电流的方向是任意的如果一个电流为负,则表示实际的电流方向与图中闭回路的电流方向相反如果电流所示的方向由电池正极(长的一端)指向负极(短的一端),则电压为正；否则电压为负.电网模型根据物理学,回路中的电流服基尔霍夫电压定律,即沿某个方向环绕回路一周的所有电压降的代数和等于沿同一方向环绕该回路一周的电源电压的代数和注:电网中的回路电流可以用来确定电网中每一分支中的电流如果只有一个回路电流流经一个分
7、支,如图3-7-3中的AB,则分支电流等于回路电流如果多于一个回路电流流经一个分支,例如从DA,则分支电流为该分支中回路电流的代数和如DA分支中的电流为安培,方向与相同,CB分支中的电流为安培四、配平化学方程式化学方程式表示化学反应中消耗和产生的物质的量. 下面我们以举例的方式来说明配平化学方程式的基本原理.例题选讲例1(E01) 下图中的网络给出了在下午一两点钟,某市区部分单行道的交通流量(以每刻钟通过的汽车数量来度量).试确定网络的流量模式. 解 根据网络流模型的基本假设,在节点(交叉口)A,B,C,D处,我们可以分别得到下列方程:此外,该网络的总流入(20+30+50)等于网络的总流出(
8、30+40+10),化简得.把这个方程与整理后的前四个方程联立,得如下方程组:取,则网络的流量模式表示为 网络分支中的负流量表示与模型中指定的方向相反. 由于街道是单行道,因此变量不能取负值. 这导致变量在取正值时也有一定的局限. 例2(E02) 已知某城市2008年的城市人口为500 000 000,农村人口为780 000 000计算2010年的人口分布解 因2008年的初始人口为, 故对2009年,有 ,对2010年,有 . 即2010年中国的人口分布为城市人口为625538000,农村人口为654462000例3(E03) 确定下图电网中的回路电流解 在回路1中,电流流过三个电阻,且电
9、压降为；在回路2中的电流也流经回路1的一部分,即从D到A的分支,对应的电压降为伏特然而,回路1中电流在DA段的方向与回路2中选定的方向相反,因此,回路1中所有电压降的代数和为由于回路1中的电压为+60伏特,由基尔霍夫电压定律,可得回路1的方程为,同理,可得回路2的方程为 , 其中,是回路1中流经DA分支的电流(因为电流与回路2中的电流方向相反,所以电压为负)；是回路2中所有的电阻乘上回路电流的和； 是回路3中流经CB分支上2欧姆电阻的电流,方向与回路2中该段的电流方向相反回路3的方程为 注意,在CB分支上10伏特的电池被当作是回路2和回路3中的一部分,但是由于回路3中电流方向,电池在回路3中为
10、-10伏特出于同样的道理,40伏特的电池也应取负值.综合上述讨论,上述电网的回路电流满足下列线性方程组 写成矩阵形式为 (*)对增广矩阵进行行变换,得从而解得=3安培,=1安培,-8安培取负值说明回路3中的实际电流与图中显示的电流方向相反.在方程组(*)中,如果将其系数矩阵记为,右端列向量记为, ,则可得到以矩阵形式表示的欧姆定律:.例4(E04) 燃烧丙烷时丙烷(C3H8)和氧气(O2)结合,生成二氧化碳(CO2)和水(H2O),其化学方程式为: (*)为了配平该方程式,必须找出一列,使得方程式左端的碳原子(C)、氢原子(H)和氧原子(O)的总数与右端对应的原子总数相等(因为化学反应中原有的
11、原子不可能消失,也不可能产生新原子).解 配平化学方程式的一个系统的方法,就是建立能描述反应过程中每种原子数目的向量方程. 方程(*)包含了3种不同的原子(碳、氢、氧),于是在R3中为(7.1)的每一种反应物和生产物构造如下向量,在其中列出每个分子所包含的不同原子的数目:为了配平方程式(*),系数必须满足经整理得到如下方程组 取(为任意常数),得到如下通解 由于化学方程式中的系数必须为整数,取,此时,配平后的方程式为如果将每个系数翻倍,方程式仍然平衡. 不过,在大多数场合下化学家更倾向于使用尽可能小的整数来配平方程式.课堂练习1. 某道路交叉口建成单行的小环岛，如下图所示，试建立该网络流的数学模型，不必求解. 2. 利用例2的数据，计算2011年的人口分布. 3. 试建立如图电网的回路电流的数学模型，不必求解.
