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1、1对数的概念 如果(a，且a1)的b次幂等于N，即=N,那么数b叫做以a为底N的对数，记作：loaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 由定义知： 负数和零没有对数； 0且1,N0; log1=0,logaa=1,aogN=N,gaab= 特别地，以10为底的对数叫常用对数,记作o0,简记为lgN；以无理数(=2.718 28)为底的对数叫做自然对数，记作ge,简记为lN. 2对数式与指数式的互化式子名称abN指数式ab=(底数)(指数)（幂值)对数式lga（底数)（对数)（真数） 3对数的运算性质 如果0，a1,M0,N0,那么 (1)loga(M）=lgM+lgaN. (2)logM
2、N=ogaM-logaN.（3)gaMnnloaM (n).问:公式中为什么要加条件a0,a1，M0，N0? lg=?(nR)对数式与指数式的比较.（学生填表) 式子a=Nloab名称a幂的底数 b a对数的底数 b 运 算 性质aman=am+n ama=(m)n (a0且a1,nR)Nlga+lgN logaM= oaM=(n） （a，a,M0,N0) 难点疑点突破 对数定义中，为什么要规定a0,且a1?理由如下: 若0，则N的某些值不存在，例如log-28 若a=0,则时b不存在;N=时b不惟一，可觉得任何正数 若=1时，则N1时b不存在；N=时b也不惟一，可觉得任何正数为了避免上述多种
3、状况，因此规定对数式的底是一种不等于1的正数解题措施技巧 ()将下列指数式写成对数式: 54=62;2-6=164;3x2;13m=73. (）将下列对数式写成指数式: log216=-；lo2128=7;lo27=x；l0.01=2； ln10=.303；k 解析由对数定义:b=NlogNb 解答(1)log564og16=-6. lo2=xl135.73= 解题措施指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：abNaN=b.(2)12-4=6.2=128.x=7. 120.01.e2303=10.10k2 根据下列条件分别求x的值： (1)log8x=-23；(）lg(log5)
4、=0; (）logx27=31+log3;(4)logx(2)=-1 解析(1)对数式化指数式，得:x-23？ (2)og5x=20=1x=?（3)31+log32=3lg2?27=x? （）2+3=-11x x=? 解答（1)x=823(23)-232-=14 ()o5=1,x=51=5 （3)log27=33lo32326, x62=3()6，故x=3(4)23=x1x,x=+32-3.解题技巧 转化的思想是一种重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系,在解决有关问题时，常常进行着两种形式的互相转化.纯熟应用公式:loga1=0，loaa=1,aloga,logaan=3 已知ogax
5、=4,lg=5,求A3x-122的值.解析思路一,已知对数式的值，规定指数式的值,可将对数式转化为指数式，再运用指数式的运算求值; 思路二,对指数式的两边取同底的对数，再运用对数式的运算求值 解答解法一lgx=4,loga=， x=a4,ya5, =5y-1=(a4)12（a5)-13a53a-3=a0=. 解法二对所求指数式两边取以为底的对数得 ogaA=loga(x512y-13) 512loax-13oay=51215=0, A=1. 解题技巧 有时对数运算比指数运算来得以便，因此以指数形式浮现的式子，可运用取对数的措施，把指数运算转化为对数运算.4 设,y均为正数,且xy1g(x10)
6、,求g(xy)的取值范畴.解析一种等式中含两个变量、y,对每一种拟定的正数由等式均有惟一的正数与之相应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg（xy)的取值范畴事实上是一种求函数值域的问题，如何才干建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数？ 解答,y,x1lg=,两边取对数得:g+（1lgx）lgy.即lgy=-gx+lx(x110,lx-). 令lg=, 则lgy=t+(t1). g(x)gx+lgy=t-t1+t=t21. 解题规律 对一种等式两边取对数是解决具有指数式和对数式问题的常用的有效措施；而变量替代可把较复杂问题转化为较简朴的问题.设S=t21+,得有关
7、t的方程2-St-S=有实数解 24S0，解得S-4或S，故lg(x)的取值范畴是(-,-40,+）. 5 求值:(1)lg25+lgl50+（lg)2； (2）2g3-log329+log3852lg53； (3)设l+l=l（2b),求lo2a-og2的值; （4）求lg2012lg.7的值. 解析(）25=52,50=10.都化成lg与l的关系式 (2)转化为o2的关系式 (3)所求g2alog2b=og2ab由已知等式给出了a,b之间的关系,能否从中求出ab的值呢? (4)7lg012lg07是两个指数幂的乘积,且指数含常用对数，设x=7g02l0.能否先求出x,再求x？解答()原式l
8、g2+lg2l(15)(lg2)2=2lg5+lg2(+g5)+(lg)2 =lg5（2+lg2）+lg2+(g2)2=lg02(2+g)g2+(2)2 =(1-l2)（2+l2)+g2+(l2)=2-g2-(lg2)2l2+(l)=2.（2)原式=2log32-(log325-lo33）+og3-5og5 =2lgl32+3log32- =-. ()由已知ab=lg(） (2b0),ab=(a-2b)， 即a2-5a4b=0. ab=或ab4,这里a0,b0. 若ab=1，则a-b,ab=1(舍去). ab, log2a-logb=og2ab=lg22 (4)设x=7lg2012lg,则gx
9、=g20lg7+l07lg12 =(1+lg)lg7+(lg7-1）(-g2) l7+g=14， , 故原式=4 解题规律对数的运算法则是进行同底的对数运算的根据,对数的运算法则是等式两边均故意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范畴与否变化，为避免增根因此需要检查，如（3）. 对一种式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的措施,如（).证明（1)loaN=gNlgca(0,a1，,1，）; (2）logaboglogac; （3)logab1a(b0，b1)； (4)lganbmmogab. 解析(1)设ogaN得b=N,两边取以c为底的对数求出b就也许得证(2
10、）中logbc能否也换成以a为底的对数. （3)应用(1）将loab换成以为底的对数. ()应用(1)将lonbm换成以a为底的对数. 解答(1)设lga=b，则ab=,两边取以为底的对数得:blogca=ocN,=lgNlgc.lN=logcNlogca. (2)由(1)lobcloaclab. 因此logblgbc=logalogaclogablgac. (3）由（）logab=logbblogba1logba.解题规律 (1)中lgaNlgcNlo叫做对数换底公式，（2)(3)()是(1）的推论,它们在对数运算和含对数的等式证明中常常应用对于对数的换底公式,既要善于正用，也要善于逆用.（
11、4)由(1)oanbmogablogaa=mogabnloga=mlgab. 7 已知lg67=,3b=，求og127. 解析依题意a，b是常数，求lg12就是要用a,b表达og27,又3b=4即g3=b,能否将log1转化为以为底的对数，进而转化为以3为底呢? 解答已知log67=a,lo34=， log127og7lo1=a1log62. 又log2log32lo36=lg32lo32, 由log4b,得lg32=b. log2=2，o62=b+2=2+b. log271+b2+b=(2+b)+ 解题技巧运用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表达出来,这是
12、常用的措施技巧8 已知x,y,z+,且3xy6.（1）求满足2x=y的p值;(2)求与p最接近的整数值;（3)求证:1y=1z1. 解析已知条件中给出了指数幂的连等式,能否引进中间量m,再用m分别表达x，y,?又想,对于指数式能否用对数的措施去解答？ 解答(1）解法一3=4ylog33x=log34y=yo342xylogylo16, p=log316 解法二设3=4=m,取对数得： xlg3=lgm,yl4=lgm, xlglg3，ymlg4，x=gml3,p=lmg4. 由2y=p， 得 2lgmg3plglg4， pl4lg=lg42g=log31. (2)2loglog36log323, 23.又3-p=lo37-log316log3716, 2lg316-log39=log3169， 而716169, log32716lg3169,3-. 与p最接近的整数是3 解题思想倡导一题多解不同的思路，不同的措施，应用了不同的知识或者是相似知识的灵活运用，既发散了思维,又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢？(2)中波及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.由于底31，因此真数大的对数就大，问题转化为比较两个真
