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1、 邵阳学院毕业设计（论文） 矩阵的特征值与特征向量 摘 要 本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的一些基本性质及定理，通过分析基本性质和定理来得出它们的基本求解方法，并延伸到一些特殊求解法。接下来还介绍了一类特殊矩阵实对称矩阵的特征值与特征向量，这让读者对矩阵的特征值与特征向量有更进一步的理解。最后给出了矩阵的特征值与特征向量在实际中的应用例子。这让我们明白研究它们不仅仅因为它们是学术知识，更是为了将它们应用到实际中去，解决实际问题，让我们的社会得到更快的发展。通过阅读这篇文章，可以使读者在以后的学习中对矩阵的求解更容易掌握。关键词： 矩阵、特征值、特征向量、正交、线性相关、线性无关、特征多项式
2、I Matrix eigenvalue and eigenvector Zhong Yueyuan (Science and information science department 2009 level of mathematics and applied mathematics at Shaoyang University in Hunan.)Abstract This paper introduces the value and some basic properties and theorems of eigenvectors of the matrix characteristi
3、c, through the analysis of the basic properties and theorems to derive basic solving method for them, and extends to some special method. Then it introduces the characteristics of a class of special matrix - the real symmetric matrix value and the characteristic vector, the reader of matrices have f
4、urther understanding and feature vector. Finally gives the matrix eigenvalue and eigenvector of the application in the actual example.Let us understand this study them not only because they are the academic knowledge, but also to apply them to practice, to solve practical problems, to make our socie
5、ty develop quickly. By reading this article, readers can learn in the future to solve the matrix is easier to grasp.Key word : Matrix, eigenvalue, eigenvector, orthogonal, linear correlation, linear independence, characteristic polynomial II目 录中文摘要.Abstract.引言.11 矩阵的特征值与特征向量.11.1 矩阵的特征值与特征向量的定义及基本理论
6、.11.2 求解矩阵的特征值与特征向量方法 .42 实对称矩阵的特征值与特征向量.72.1 实对称矩阵的性质、定理及对角化.72.2 求实对称矩阵的特征值与特征向量.93 矩阵的特征值与特征向量的举例应用.103.1 用特征值理论求解Fibonacci数列通项.113.2 在研究经济发展与环境污染中的应用.124 结论.15参考文献.16致谢.17引言 矩阵是高等代数课程的一个基本概念，是研究高等代数的基本工具。线性空间、线性变换等,都是以矩阵作为手段；由此演绎出丰富多彩的理论画卷。求解矩阵的特征值和特征向量，是高等数学中经常碰到的问题。一般的线性代数教材中，都是先计算特征多项式，然后求得特征
7、值，再通过解线性方程组得到对应的特征向量。特征多项式和特征根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在实际中也有广泛的应用。1 矩阵的特征值与特征向量1.1 矩阵的特征值与特征向量的定义及基本理论定义1 设一个阶方阵，是一个数，如果方程 (1.1) 存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量。 (1) 式也可写成， (1.2) 这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 (1.3) 即 上式是以为未知数的一元次方程，称为方多项式阵的特征方程。其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特征。 =|AE|= 显然，的特征值就是特征方程的
8、解。特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算）。因此，阶矩阵有个特征值。设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系,不难证明 （）（）.若为的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为方程的重根，则称为的重特征根。方程的每一个非零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算的特征多项式； 第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值； 第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组： 的一个基础解系则的属于特征值的全部特征 向量是 。 定义2 设是数域上线性空间的一个线性变换。如果对应中的一个数，存在中
9、的非零向量，使得 (1.4)那么就叫做的一个特征值，而叫做的属于特征根的一个特征向量。显然，如果是的属于特征值的一个特征向量，那么对于任意,都有 (1.5) 这样，如果是的一个特征向量，那么由所生成的一维子空间在之下不变；反过来，如果的一个一维子空间在之下不变，那么中每一个非零向量都是的属于同一特征值的特征向量。其中（1）式的几何意义是：特征向量与它在下的象保持在同一直线L（）上，时方向相同，时方向相反，时，例1 在V3中，是关于过原点的平面H的反 射，它是一个线性变换。那么H中的每个非零 向量都是的属于特征值1的特征向量，V就是平面H。与H垂直的非零向量都是的属于特征值 -1的特征向量，即V-1就是直 线L（见图1）。 图1定理1 属于不同特征值的特征向量一定线性无关。 证明 设是矩阵的不同特征值，而分别是属于 的特征向量，要证是线性无关的。我们对特征值的个数m 作数学归纳法证明。 当时,由于特征向量不为零,所以结论显然成立。 当时,假设时结论成立。 由于是的不同特征值,而是属于的特征向量,因此 如果存在一组实数，使 (1.6) 则上式两边乘以得 (1.7) 另一方面, ,即 (1.8)(4)(5)有 。 由归纳假设,线性无关,因此
