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1、变位齿轮公法线长度计算的研究与探索中煤北京煤机公司退休职工 周万峰摘要：将变位齿轮公法线长度计算式 （直齿）中的“”和（斜齿 ）中的“”表述为“标准齿轮的公法线长度”是不合理的。本文从正反两方面论证这样表述的不合理性，并给出合理的表述。关键词：公法线长度，基圆弧长，标准齿轮，跨齿数。1、不合理的表述及不合理的计算方法有些教材和手册对变位齿轮公法线长度的计算是这样表述的：“变位齿轮的公法线长度，等于标准齿轮的公法线长度，加上变位齿轮公法线长度的附加量（直齿）或（斜齿）。”给出的计算式为： （直齿） （1） (斜齿) （1）并且指明公式中的“”和“”为“标准齿轮的公法线长度”。某些教材和手册虽然没
2、有这样明确表述，但公法线长度却是按这种表述计算的。笔者认为这样表述和按表述这样计算都是不合理的。因为按这种表述计算的公法线长度，其测量点（量具卡脚与齿廓的切点）有时在齿顶部，有时在齿根部；有时甚至在齿顶圆之外或齿根圆以内，使公法线长度测量不准或无法测量。下面用这种方法计算一个例题，看看是不是这样。例题 一变位直齿轮，（试计算公法线长度。依据题给条件由标准齿轮公法线长度表查得，=41、m=1、的公法线长度(跨齿数k=5)，故，公法线长度的附加量。故公法线长度 。这条公法线长度完全是按这种表述计算的，也是不少书和手册上示范例题的通行算法。那么这样计算是否合理呢？所谓公法线长度合理与否是指它的测量点
3、是否在齿廓的合理部位：如测量点在齿高的中点部位则说明公法线长度是合理的；如测量点在齿顶部或齿根部则说明公法线长度是不合理的；如测量点在齿顶圆之外或齿根圆以内则说明这条线段已不是公法线长度了，因为它不符合公法线长度的定义。现据上述公认的论点对的这条所谓公法线长度的合理性验证如下：（1）计算的测量点所在圆直径 为基圆直径，=5 ， 。 （2）计算齿顶圆直径。，查渐开线函数表。，。（3）计算测量点至齿顶的距离。该齿轮的全齿高，而测量点至齿顶的距离为，这表明公法线的测量点在齿根圆以内，无法测量。因此按这种表述计算公法线长度就此例而言是不合理的。另外，手册对的公法线长度“表”都是这样定义的：“为的标准齿
4、轮的公法线长度。”这种说法同样是不合理的。今从“公法线长度表”（今天各家手册几乎都有这样的表）中随意取z=86这个齿数（见表1）进行分析，看看它为何是不合理的。 表1 公法线长度 861029.249711 32.20201235.154013 38.1060在表1中，当k=10、k=11时经验证，它们对应的是这个标准齿轮的公法线长度；但当k=12、k=13时经验证，它们对应的就不是这个标准齿轮的公法线长度了。因为这两条线段的测量点都在标准齿轮的齿顶圆之外，不符合公法线长度的定义，所以它俩都不是公法线长度。下面验证是不是这个标准齿轮的公法线长度。（1）计算测量点所在圆直径， 。（2）计算标准齿
5、轮的齿顶圆直径，。，这说明测量点在齿顶圆之外，不符合公法线长度的定义，因此它不是公法线长度。K=12对应的值都不是公法线长度，那k=13对应的值就更不是公法线长度了。在这4条线段中有两条是公法线长度，有两条不是公法线长度；然而教材、手册都一概称它们都是公法线长度；显而易见，这种说法是站不住脚的。因此按这种表述计算公法线长度以及对“”的定义显然都是不合理的。2、公法线长度必然是基圆弧长，但基圆弧长不一定是公法线长度按这种表述计算公法线长度的不合理性早在上世纪80年代就有文章指出过，但有些读者不以为然。他们说：“书上表述是合理的。只要将公式（1）中的（斜齿）中的“k”用变位齿轮的跨齿数代入计算，不
6、合理的公法线长度就不会出现了。”是的，这样计算是正确的。但这样又与表述有矛盾了：你有什么理由断定公式（1）中的就一定是标准齿轮的公法线长度呢？今仍以上述那个例题为例，用变位齿轮的跨齿数代入，看看它是不是标准齿轮的公法线长度。首先计算变位齿轮的跨齿数。公式为：。将各值代入公式，则，按规定应取k=7 。将k=7代入公法线长度计算式，则。现在只要计算出的测量点在标准齿轮齿廓上的部位，那么它是不是标准齿轮的公法线长度就一清二楚了。现验证如下：（1）计算的测量点所在圆直径（前已算出）。 ，（2）计算标准齿轮的齿顶圆直径 ， 。至此即可看出，。这表明测量点在齿顶圆之外，量具卡脚不能与渐开线齿廓相切，不符合
7、公法线长度的定义，因此不是标准处轮的公法线长度。这样就从另一方面否定了这种表述的合理性。总之，不论你怎样辩解，这种表述都是不能自圆其说的。所以这种表述是不合理的。那么这条线段是什么呢？它是这个标准齿轮的6个基圆周节加上基圆齿厚的长度。也就是说，它是标准齿轮含7个齿的基圆弧长，而不是公法线长度。诚然，“公法线长度”必定是“基圆弧长”（这是渐开线的性质决定的），但“基圆弧长”不一定是“公法线长度”。比如有个z=20的直齿轮，它合理的跨齿数是k=3（，即按跨3个齿计算是公法线长度，而按k=8、k=9、k=10等等算出的就是基圆弧长了。因为它们的测量点都在齿顶圆之外，无法测量。故它们不是公法线长度。明
8、明不是公法线长度，而手册说它是公法线长度，这不是“指鹿为马”又是什么呢？3、变位齿轮公法线长度计算的合理表述前面说了，手册上对公法线长度计算的表述是不合理的。那么怎样表述才是合理的呢？笔者认为，对变位直齿轮公法线长度的计算这样表述似乎才是合理的。即：“变位直齿轮的公法线长度，等于标准直齿轮含k个齿的基圆弧长，加上变位直齿轮基圆弧长的附加量。”计算式为：式中“”就是标准直齿轮含k个齿的基圆弧长，“”就是变位直齿轮基圆弧长的附加量，k是变位直齿轮的跨齿数。对变位斜齿轮公法线长度的计算这样表述似乎才是合理的，即：“变位斜齿轮的公法线长度，等于标准斜齿轮含k个齿的端面基圆弧长，加上变位斜齿轮端面基圆弧
9、长的附加量后，与基圆螺旋角余弦的乘积。”计算公式为：式中“”为标准斜齿轮含k个齿的端面基圆弧长，“”为变位斜齿轮端面基圆弧长的附加量，k为变位斜齿轮的跨齿数，为斜齿轮基圆螺旋角。端面基圆弧长之所以乘上是因为斜齿轮的公法线长度要在法面上测量，故应将端面上的值换算到法面上去。由于计算斜齿轮端面上的值太麻烦，而且斜齿轮给出的都是法面参数，因而将标准斜齿轮看成是齿数为、参数与标准斜齿轮法面参数相同的、假想的直齿轮，这样即可按直齿轮的计算方法计算斜齿轮的公法线长度了。计算公式为：。式中“”即为假想标准直齿轮含k个齿的基圆弧长，“”即为假想变位直齿轮基圆弧长的附加量，k为假想变位直齿轮（也就是变位斜齿轮）
10、的跨齿数。有人可能问了：“怎么斜齿轮公法线长度计算式与直齿的一样了呢？”应该大致是一样的。因为你已经将斜齿轮看成是齿数为的直齿轮了嘛，当然应该大致一样了。如果假想的直齿轮公法线长度计算式中还有这样的写法似乎就不好解释了，因为是直齿轮了嘛，所以就没有端面、法面之分了。但是它们还是有区别的：一看公式中有就知是斜齿轮了。有人又说了：“公式（1）中的和原来定义为“标准齿轮的公法线长度”你说不合理，你一律给改成标准齿轮的基圆弧长；然而当公式（1）中的和它们有时是标准齿轮的公法线长度时怎么办呢？”这好办呐，仍称作是“标准齿轮的基圆弧长”就是了。因为公法线长度本身就是基圆弧长（这是渐开线性质决定的）嘛，而没
11、有公法线长度功能的基圆弧长它本身就是基圆弧长。既然都是基圆弧长，称它们是基圆弧长又有何不可呢？那么为何说原来的说法不合理呢？因为公式（1）中的和它们有时是“公法线长度”，但有时则是（没有公法线长度功能的）“基圆弧长”（如前面说的98.82mm的这条线段）；因而在这种情况下一概称它们都是“公法线长度”显而易见是不合理的。因为没有公法线长度功能的“基圆弧长”它不是公法线长度。明明是只兔子，却说它是只鸡，这显然是说不通的嘛。4、变位齿轮公法线长度合理的计算方法由于对变位齿轮公法线长度的计算方法表述的不合理，故不合理的计算方法和不合理的公法线长度时有所见。就是今天那种不合理的计算方法在书上、手册上也不
12、鲜见。变位齿轮公法线长度合理的计算方法应该是这样的：首先用变位齿轮的跨齿数计算公式算出跨齿数k，然后将k代入公式 （直齿）或 （斜齿）中算出，然后再加上变位齿轮基圆弧长的附加量。这才是变位齿轮公法线长度合理的计算方法。作者附言变位齿轮公法线长度计算的研究与探索一文写于1996年，首先投给北京的一家工艺性质的杂志。该杂志是认真负责的，但它的审稿人的审稿态度却是居高临下，高傲侮慢的。然而他的学术水平令人咋舌。欲知详情，请看附在本文后面的“附录（7）”是作者“杞人忧天”，还是审稿人对文章讨论的问题不甚了了？就变位齿轮公法线长度计算的研究与探索一文作者对“审稿意见”的评述一文。另外，由于文章的容量有限
13、，所以文章不能面面俱到。本文虽然给出了公法线长度计算的合理表述，但“公法线长度表”应该是怎样才是合理的等等问题本文都未给出答案。读者看了本文后，请再看谈谈对机械设计手册上“公法线长度表”的看法一文。附录（7）是作者“杞人忧天”，还是审稿人对文章讨论的问题不甚了了？就变位齿轮公法线长度计算的研究与探索一文作者对“审稿意见”的评述周万峰在上世纪90年代中期，笔者将变位齿轮公法线长度计算的研究与探索一文投给了北京一家工艺性质的杂志。该杂志是认真负责的，但它的一位审稿人的学术水平令人咋舌。而且审稿态度也是居高临下，高傲侮慢的。下面请看他是怎样审稿的。审稿人说：“作者之所以认为某书上表述的不合理，可能担
14、心某人将公式（1）（见文章的公式(1)笔者）理解为：时会得出错误的结果（见变位齿轮公法线长度计算的研究与探索一文开头的例题笔者）。如果真的出现这种错误，只能怪某人没有读懂或没有理解书上这段表述或是由于生搬硬套读书方法的结果。”明显看出，审稿人认为文章的作者“杞人忧天”了。他不相信公式（1）结合例题会出现“”有人用标准齿轮的跨齿数（即k=5）代入计算；如果真的出现了这种情况的话，那不是书的责任，而“只怪某人没有读懂或是没有理解书上这段表述或是由于生搬硬套读书方法的结果”。审稿人说的“某人”其实他指的就是文章的作者。因为他认为“这个问题并不复杂”，不会出现作者担心的结果。果真如审稿人说的那样吗？不
15、是的。正因为笔者读懂了并理解了，也未“生搬硬套读书方法”，所以才写出变位齿轮公法线长度计算的研究与探索一文来的。只是由于审稿人尚不知有这种普遍存在的不合理的计算方法，所以他才认为作者“杞人忧天”了，“没有读懂或没有理解书上这段表述或是由于生搬硬套读书方法的结果”了等等。为了使这位审稿人心服（为何不说“口服”呢？因为他不会“口服”的，此前彼此就有过争鸣），下面请看书上的几则按那种不合理表述计算的实例让事实说话。 请看著变位齿轮（机械工业出版社，1958年第一版，1959年第二次印刷）一书。在该书第61页上有一道变位齿轮公法线长度计算的示范例题，请看该书是怎样计算的。“例1 一对变位直齿轮，已知，。，；、，计算这对齿轮的公法线长度（请读者注意：当年齿轮参数的符号与今天的并不完全相同，为便于
