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1、一、单项选择题（每题2分）1、已知,下列集族中，（ ）是上的拓扑.A B C D 答案：C2、已知，拓扑,则=（ ）A B C D 答案：D3、 下列拓扑空间中，满足连续不变性的是（ ）A. 紧致 B. 可数紧致 C. 列紧 D. 序列紧致答案：C4、 下列拓扑空间中，具有遗传性的是（ ）答案： DA. T1空间 B. T2空间 C. T3空间 D. T4空间5、设A为度量空间的任一非空子集，则下列命题不成立的是（ ）答案：BA. x为A的边界点当前仅当B. x为A的聚点当且仅当C. x为A的内点当且仅当D.当且仅当6、在实数空间中，有理数集的内部是（ ）A B Q C R -Q D R 答案
2、：A7、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,则下列关系中正确的是（ ） A B C D 答案: D8、设，令,则由产生的上的拓扑是（ ）A ,c,d,c,d,a,b,c B ,c,d,c,dC ,c,a,b,c D ,d,b,c,b,d,b,c,d 答案：A9、设是至少含有两个元素的集合，, 是的拓扑，则（ ）是的基. A B C D 答案：C10、如果拓扑空间的每个紧致子集都是闭集，则是（ ）A 空间 B 紧致空间 C 可数补空间 D 非紧致空间 答案：A二、填空（每题2分）1、设,则的平庸拓扑为 ;答案：2、在实数空间R中，有理数集Q的导集是_.答案： R3、是拓扑空间到的一个映射，若它是
3、一个单射，并且是从到它的象集的一个同胚，则称映射是一个 .答案：嵌入4、若拓扑空间存在着一个既开又闭的非空真子集，则是一个 ；答案：不连通空间。5、设是一个拓扑空间. 如果的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间是一个 .答案：列紧空间三、判断（每题5分，判断2分，理由3分）1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:理由：设是离散空间，是拓扑空间，是连续映射，因为对任意，都有,由于中的任何一个子集都是开集，从而是中的开集，所以是连续的. 2、设，则是空间.( )答案：理由：因为对于点和点，没有开邻域不包含，从而不是 空间注：也可以考虑点和点.3、若拓扑空间中存在一个既开又闭的
4、非空真子集，则是一个不连通空间( )案：理由：这是因为若设是中的一个既开又闭的非空真子集，令，则都是中的非空闭子集，它们满足，易见是隔离子集，所以拓扑空间是一个不连通空.4、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )答案： 理由：设是Hausdorff空间的一个紧致子集，则对于任何，若，则易知不是的凝聚点，因此，从而是一个闭集.四、解答题（6+8）1、试说明紧致空间的无穷子集必有凝聚点.答案：如果的无穷子集的没有凝聚点，则对于任意，有开邻域，使得，于是的开覆盖没有有限子覆盖，从而不是紧致空间，矛盾.故紧致空间的无穷子集必有凝聚点.2、设，试写出X上的所有拓扑.五、证明题（8+8+10+10）1、设A为X中的连通子集，若存在X的开集E和F，有，证明：.2、Q的非空连通子集必是单点集i.eProof: 3、证明欧式空间去掉可数个点后仍是道路连通.4、若X的每个紧致子集都是闭集，则X中的序列极限唯一.
