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1、 有心力场中圆形轨道稳定性非线性近似分析有心力场中圆形轨道稳定性非线性近似分析摘 要本文利用微扰法研究质点在有心力作用下圆形轨道的稳定性问题。通过对比分析了一阶与二阶两种微扰近似条件下质点运动轨道的相图。在引力与距离n次方成反比的有心力场中,影响圆形轨道稳定性的因素有幂次n、轨道初始半径及微扰强度。当n趋近于2时,圆形轨道抗扰动能力比较强; 当n确定时,轨道半径越大的圆形轨道,所能承受的微扰越小。并从粒子的运动方程出发,利用非线性动力学的方法分析了行星在有心力场中运行轨道的稳定性。并指出，当粒子在与位置矢量n次方成反比的有心力的作用下，其运行轨道的稳定条件是n小于三。关键词：稳定性；微扰法；相
2、图；运行轨道NONLINEAR ANALYSIS ON STABILITY OF A CIRCULAR ORBIT IN THE CENTRAL FORCE FIELDABSTRACTIn this paper，the perturbation method is used to study the stability problem of a mass particle forced by a central force in a circular orbit. By comparative analysis, phase diagram of the perturbation orbit
3、of mass is performed under the conditions for the first-order and second-order perturbation approximations. In the central force field where the gravity is in inverse proportion to nth power of the modulus of situation vector, Influence factors on the stability of circular orbit are power index n，in
4、itial orbit radius and the strength of the perturbation. When power index n tends to 2, the anti-disturbance capability of the circular orbit is strong. The larger the circular orbit radius is, for the same power index, the smaller perturbation the orbit can endure. Based on the basic motion equatio
5、n, the stability of the planet orbits in central force field is studied by using nonlinear dynamics method. It is indicated that the stability condition of planet orbits in the central force field is that n is smaller than three when particle is forced by the central force which is in inverse propor
6、tion to nth power of situation vector. Key words: stability; perturbation method; phase diagram; orbit stability目 录1前言-12线性稳定性分析和奇点的分类-221非线性方程的线性化和线性稳定性定理-2 22线性方程的解及其稳定性-3 23奇点（定点）的分类-43圆形轨道的稳定性-5 31圆形轨道的微扰微分方程-5 311取一阶微扰近似-5 312取二阶微扰近似-6 32有心力场中圆形轨道的稳定性分析-7 321当时的稳定性分析-7 322当时的稳定性分析-74行星轨道的稳定性分析-
7、125结论-15参考文献-16致谢-171 前 言对于现行通用的理论力学教材中关于有心力场中圆形轨道稳定性的讨论，方法一般分为两类：第一类用有效势能法；第二类用比耐公式，然后归结为用线性近似方程判别稳定性。不管方法如何，这些文献都未涉及微扰大小对稳定性的影响。一般认为，当初始扰动过大，轨道不可能保持稳定。如果当圆形轨道取一阶微扰近似时的稳定性条件是什么？若当存在二阶微扰时，情况又如何呢？有心力场中圆形轨道稳定性又与哪些因素有关呢？这些结论又是否适用于行星轨道呢？本文将利用微扰法研究有心力场中圆形轨道稳定性的基础上，采用非线性近似，结合微扰相图，讨论了微扰大小对稳定性的影响，并从运动方程出发验证
8、了此结论适用于行星轨道。弥补了其他文献讨论上的不足。2 线性稳定性分析和奇点分类2.1 非线性方程的线性化和线性稳定性定理设为非线性方程的一个解。为研究此解的稳定性，令表示此解附近的另一解： （2.1） 称为参考点或参考解，相应的状态称为参考态，就是状态对参考态的偏离。为了分析定点（定态）的稳定性及在其邻域解的表现，通常都是取定点为参考点。 将式（2.1）代入方程 （2.2）并实行泰勒展开： （2.3）表示的二次和二次以上无穷小项，下标0表示在参考点处取值。由此得： （2.4）方程（2.4）也可写成矢量形式： （2.5）式（2.4）中： （2.6）式（2.5）中的系数矩阵（雅克比矩阵）是： （
9、2.7）方程（2.4）或（2.5）就是非线性方程（2.2）在参考点邻域的线性化方程。 线性稳定性定：如果非线性方程（2.2）的线性化方程（2.4）的定点是渐进稳定的，则参考点（态)是非线性方程的渐进稳定解；如果线性化方程的定点是不稳定的，则参考态也是非线性方程的不稳定解。2.2 线性方程的解及其稳定性为求线性方程（2.4）并分析其解的稳定性，先就简单而形象的n=2情形进行研究其结果不能推广到多变量的情形。当n=2时，方程（2.4）简化为： （2.8）通常方程（2.8）有如下形式的解： （2.9）是下述特征值方程的解： = 0 （2.10）或 T + = 0 （2.11）用和T分别表示方程(2.
10、8)系数矩阵的行列式和迹 （2.12）T = + （2.13）方程（2.10）有两个解： = ， = （2.14）2.3 奇点（定点）的分类还可以根据和T取值不同从而特征跟取值也不同进一步对线性方程（2.4）的解和非线性方程的参考态定态或定点（奇点）进行分类：（1）情形 这时两个特征根和都是实的，而且符号相同。这样的定点（奇点）称为结点。T0时它是不稳定结点，T0时是稳定结点。凡是和小于零的奇点，因为指数为负的，导致趋于零（t），都是稳定的，反之是不稳定的。（2） 情形 这时两个特征根都是复数（），其虚部表示振荡过程（），实部（）则表示振荡的振幅。 时， ，振幅按指数形式增长，解或定点（奇点）
11、便是不稳定的； 时， ，振幅按指数形式衰减，解或定点便是稳定的。这样的定点称为焦点或螺线极点。因此焦点也有不稳定焦点和稳定焦点之分：（从而）时是不稳定焦点，（从而 ）时是稳定焦点.（3）情形 这时两特征根都是虚的，从而解是振荡的，其在相平面上的轨线是一些闭曲线，这时的定点（奇点）称为中心。（4）情形 这时两特征根都是实的，其中之一是正的，另一是负的，从而这种奇点在相平面上一个方向是不稳定的，另一方向是稳定的，相应的定点（奇点）称为鞍点。3 圆轨道的稳定性3.1 圆形轨道的微扰微分方程3.1.1 取一阶微扰近似地球绕太阳运行的轨道是接近于圆形的椭圆。我们知道，对圆形轨道来讲，r或为常数。由比耐公示可知，在有心力作用下，对任何质点（或星体）来讲，如投掷（起始）速度的方向垂直于位矢，且满足 （3
