第18章 图形的相似与位似.doc

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1、第十八章 图形的相似与位似15(2012北京,15,5)已知,求代数式的值【解析】【答案】设a=2k,b=3k,原式=【点评】本题考查了见比设份的解题方法,以及分式中的因式分解,约分等。28.2 线段的比、黄金分割与比例的性质(2011山东省潍坊市,题号8,分值3)8、已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E ,沿AE将ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD=( )AB C D2考点:多边形的相似、一元二次方程的解法解答:根据已知得四边形ABEF为正方形。因为四边形EFDC与矩形ABCD相似所以DF:EF=AB:BC 即 (AD-1):1=1:

2、AD 整理得:,解得由于AD为正,得到AD=,本题正确答案是B.点评:本题综合考察了一元二次方程和多边形的相似,综合性强。28.3相似三角形的判定 (2012山东省聊城,11,3分)如图,ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,下列结论不正确的是( )A.BC=2DE B. ADEABC C. D. 解析:根据三角形中位线定义与性质可知,BC=2DE;因DE/BC,所以ADEABC,AD:AB=AE:AC,即AD:AE=AB:AC,.所以选项D错误.答案:D点评:三角形的中位线平行且等于第三边的一半.有三角形中位线,可以得出线段倍分关系、比例关系、三角形相似、三角形面积之间关系等.(2012

3、四川省资阳市,10,3分)如图,在ABC中,C90,将ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,已知MNAB,MC6,NC,则四边形MABN的面积是AB CD(第10题图)【解析】由MC6,NC,C90得SCMN=,再由翻折前后CMNDMN得对应高相等;由MNAB得CMNCAB且相似比为1:2,故两者的面积比为1:4,从而得SCMN:S四边形MABN=1:3,故选C.【答案】C【点评】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富;考查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大.(2

4、012湖北随州,14,4分)如图,点D,E分别在AB、AC上,且ABC=AED。若DE=4,AE=5,BC=8,则AB的长为_。10解析:ABC=AED,BAC=EADAEDABC,DE=10答案:10点评:本题主要考查了三角形相似的判定和性质。利用两三角形的相似比,通过已知边长度求解某边长度,是常用的一种计算线段长度的方法。 28.4 相似三角形的性质 (2012重庆,12,4分)已知ABCDEF,ABC的周长为3,DEF的周长为1,则ABC与DEF的面积之比为_解析:相似三角形的周长比等于相似比,相似三角形的面积比等于相似比的平方,故可求出答案。答案:9:1点评:本题考查相似三角形的基本性

5、质。(2012浙江省衢州,15,4分)如图,ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,CD=2DE.若DEF的面积为a,则ABCD中的面积为 .(用a的代数式表示)【解析】根据四边形ABCD是平行四边形,利用已知得出DEFCEB,DEFABF,进而利用相似三角形的性质分别得出CEB、ABF的面积为4a、9a,然后推出四边形BCDF的面积为8a即可.【答案】12a【点评】此题主要考查相似三角形的判定、性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握,解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理(2012山东省荷泽市,16(1),6)(1)如图,DAB=CAE,请你再补充一个条件

6、_,使得ABCADE,并说明理由.【解析】从已知条件中可得出一组角对应相等,要判定两个三角形相似,可以增加另外一组对应相等或者是这两角的两边对应成比.【答案】 -2分 理由:两角对应相等,两三角形相似-6分【点评】判断两个三角形相似的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用,在选择方法一定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加.(湖南株洲市6,20题)(本题满分6分)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,沿直线MN对折,使A、C重合,直线MN交AC于O.(1)、求证:COMCBA; (2)、求线段OM的长度.【解析】要证明COMCBA就是要找出COM=B即可,求线段的长就是利用第(1)

7、问中的相似建立比例式,构造出OM的方程求解.【解】(1)证明: A与C关于直线MN对称ACMNCOM=90在矩形ABCD中,B=90COM=B-1分又ACB=ACB-2分COMCBA -3分(2)在RtCBA中,AB=6,BC=8AC=10- -4分OC=5COMCBA-5分OM=-6分【点评】求证两个三角形相似的方法主要是两角对应相等,两三角形相似、两边对应成比例及夹角相等,两三角形相似及三边对应成比例,两三角形相似,求线段的长的方法,主要是利用三角形相似及直角三角形的勾股定理.(2012湖南娄底,25,10分)如图13,在ABC中,AB=AC,B=30,BC=8,D在边BC上,E在线段DC

8、上,DE=4,DEF是等边三角形,边DF交边AB于点M,边EF交边AC于点N. (1)求证:BMDCNE; (2)当BD为何值时,以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切?(3)设BD=x,五边形ANEDM的面积为y,求y与x 之间的函数解析式(要求写出自变量x的取值范围);当x为何值时,y有最大值?并求y的最大值.BDECNAFM【解析】(1)由AB=AC,B=30,根据等边对等角,可求得C=B=30,又由DEF是等边三角形,根据等边三角形的性质,易求得MDB=NEC=120,BMD=B=C=CNE=30,即可判定:BMDCNE;(2)首先过点M作MHBC,设BD=x,由以M为圆心,以MF为半

9、径的圆与BC相切,可得MH=MF=4-x,由(1)可得MD=BD,然后在RtDMH中,利用正弦函数,即可求得答案;(3)首先求得ABC的面积,继而求得BDM的面积,然后由相似三角形的性质,可求得BCN的面积,再利用二次函数的最值问题,即可求得答案【答案】(1)证明:AB=AC,B=C=30.DEF是等边三角形,FDE=FED=60,MDB=NEC=120,BMD=B=C=CNE=30,BMDCNE;(2)过点M作MHBC,以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切,MH=MF,设BD=x,DEF是等边三角形,FDE=60,B=30,BMD=FDE-B=60-30=30=B,DM=BD=x,MH=M

10、F=DF-MD=4-x,在RtDMH中,sinMDH=sin60=,解得:x=,当BD=时,以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切;(3)过点M作MHBC于H,过点A作AKBC于K,AB=AC,BK=BC=8=4。B=30,AK=BKtanB=4=,SABC=BCAK=8=,由(2)得:MD=BD=x,MH=MDsinMDH= x,SBDM=xx=.DEF是等边三角形且DE=4,BC=8,EC=BC-BD-DE=8-x-4=4-x,BMDCNE,SBDM:SCEN=,SCEN=,y=SABC-SCEN-SBDM= =(0x4),当x=2时,y有最大值,最大值为【点评】此题考查了相似三角形的判定

11、与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、二次函数的性质以及三角函数等知识此题综合性较强,注意数形结合思想与方程思想的应用 (2012重庆,12,4分)已知ABCDEF,ABC的周长为3,DEF的周长为1,则ABC与DEF的面积之比为_解析:相似三角形的周长比等于相似比,相似三角形的面积比等于相似比的平方,故可求出答案。答案:9:1点评:本题考查相似三角形的基本性质。(2012浙江省衢州,15,4分)如图,ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,CD=2DE.若DEF的面积为a,则ABCD中的面积为 .(用a的代数式表示)【解析】根据四边形ABCD是平行四边形,利用已知得出D

12、EFCEB,DEFABF,进而利用相似三角形的性质分别得出CEB、ABF的面积为4a、9a,然后推出四边形BCDF的面积为8a即可.【答案】12a【点评】此题主要考查相似三角形的判定、性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握,解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理(2012山东省荷泽市,16(1),6)(1)如图,DAB=CAE,请你再补充一个条件_,使得ABCADE,并说明理由.【解析】从已知条件中可得出一组角对应相等,要判定两个三角形相似,可以增加另外一组对应相等或者是这两角的两边对应成比.【答案】 -2分 理由:两角对应相等,两三角形相似-6分【点评】判断两个三角形相似

13、的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用,在选择方法一定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加.(2012山东泰安,17,3分)如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B与CD的中点重合,若AB=2,BC=3,则FC与DG的面积之比为( )A.9:4 B.3:2 C.4:3 D.16:9【解析】设CF=x,则BF=3-x,由折叠得F=BF=3-x,在RtFC中,由由勾股定理得CF2+C2=F2,x2+12=(3-x)2,解得x=,由已知可证RtFCRtDG,AR所以SFC与SDG的面积为(:1)2=.【答案】D.【点评】本题综合考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的性质,相似三角形的面积比等于相似比的平方。(20

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