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1、第十八章 图形的相似与位似15（2012北京，15，5）已知，求代数式的值【解析】【答案】设a=2k,b=3k，原式=【点评】本题考查了见比设份的解题方法，以及分式中的因式分解，约分等。28.2 线段的比、黄金分割与比例的性质（2011山东省潍坊市，题号8，分值3）8、已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一点E ,沿AE将ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）AB C D2考点：多边形的相似、一元二次方程的解法解答：根据已知得四边形ABEF为正方形。因为四边形EFDC与矩形ABCD相似所以DF:EF=AB:BC 即 （AD-1）:1=1:
2、AD 整理得：,解得由于AD为正，得到AD=，本题正确答案是B.点评：本题综合考察了一元二次方程和多边形的相似，综合性强。28.3相似三角形的判定 （2012山东省聊城，11，3分）如图，ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，下列结论不正确的是（ ）A.BC=2DE B. ADEABC C. D. 解析：根据三角形中位线定义与性质可知，BC=2DE；因DE/BC，所以ADEABC，AD：AB=AE：AC，即AD：AE=AB：AC，.所以选项D错误.答案：D点评：三角形的中位线平行且等于第三边的一半.有三角形中位线，可以得出线段倍分关系、比例关系、三角形相似、三角形面积之间关系等.（2012
3、四川省资阳市，10，3分）如图，在ABC中，C90，将ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MNAB，MC6，NC，则四边形MABN的面积是AB CD（第10题图）【解析】由MC6，NC，C90得SCMN=，再由翻折前后CMNDMN得对应高相等；由MNAB得CMNCAB且相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得SCMN：S四边形MABN=1:3，故选C.【答案】C【点评】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大.（2
4、012湖北随州，14,4分）如图，点D,E分别在AB、AC上，且ABC=AED。若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为_。10解析：ABC=AED，BAC=EADAEDABC，DE=10答案：10点评：本题主要考查了三角形相似的判定和性质。利用两三角形的相似比，通过已知边长度求解某边长度，是常用的一种计算线段长度的方法。 28.4 相似三角形的性质 (2012重庆，12，4分)已知ABCDEF，ABC的周长为3，DEF的周长为1，则ABC与DEF的面积之比为_解析：相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，故可求出答案。答案：9：1点评：本题考查相似三角形的基本性
5、质。（2012浙江省衢州，15，4分）如图，ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE.若DEF的面积为a，则ABCD中的面积为 .(用a的代数式表示)【解析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用已知得出DEFCEB，DEFABF，进而利用相似三角形的性质分别得出CEB、ABF的面积为4a、9a，然后推出四边形BCDF的面积为8a即可.【答案】12a【点评】此题主要考查相似三角形的判定、性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理（2012山东省荷泽市，16(1),6）(1)如图，DAB=CAE，请你再补充一个条件
6、_,使得ABCADE，并说明理由.【解析】从已知条件中可得出一组角对应相等，要判定两个三角形相似，可以增加另外一组对应相等或者是这两角的两边对应成比.【答案】 -2分 理由：两角对应相等，两三角形相似-6分【点评】判断两个三角形相似的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用，在选择方法一定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加.（湖南株洲市6,20题）（本题满分6分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.（1）、求证：COMCBA； （2）、求线段OM的长度.【解析】要证明COMCBA就是要找出COM=B即可，求线段的长就是利用第（1）
7、问中的相似建立比例式，构造出OM的方程求解.【解】（1）证明： A与C关于直线MN对称ACMNCOM=90在矩形ABCD中，B=90COM=B-1分又ACB=ACB-2分COMCBA -3分（2）在RtCBA中，AB=6，BC=8AC=10- -4分OC=5COMCBA-5分OM=-6分【点评】求证两个三角形相似的方法主要是两角对应相等，两三角形相似、两边对应成比例及夹角相等，两三角形相似及三边对应成比例，两三角形相似，求线段的长的方法，主要是利用三角形相似及直角三角形的勾股定理.（2012湖南娄底，25，10分）如图13，在ABC中，AB=AC，B=30，BC=8，D在边BC上，E在线段DC
8、上，DE=4，DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N. （1）求证：BMDCNE； （2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？（3）设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x 之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值.BDECNAFM【解析】（1）由AB=AC，B=30，根据等边对等角，可求得C=B=30，又由DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质，易求得MDB=NEC=120，BMD=B=C=CNE=30，即可判定：BMDCNE；（2）首先过点M作MHBC，设BD=x，由以M为圆心，以MF为半
9、径的圆与BC相切，可得MH=MF=4-x，由（1）可得MD=BD，然后在RtDMH中，利用正弦函数，即可求得答案；（3）首先求得ABC的面积，继而求得BDM的面积，然后由相似三角形的性质，可求得BCN的面积，再利用二次函数的最值问题，即可求得答案【答案】（1）证明：AB=AC，B=C=30.DEF是等边三角形，FDE=FED=60，MDB=NEC=120，BMD=B=C=CNE=30，BMDCNE；（2）过点M作MHBC，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，MH=MF，设BD=x，DEF是等边三角形，FDE=60，B=30，BMD=FDE-B=60-30=30=B，DM=BD=x，MH=M
10、F=DF-MD=4-x，在RtDMH中，sinMDH=sin60=，解得：x=，当BD=时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切；（3）过点M作MHBC于H，过点A作AKBC于K，AB=AC，BK=BC=8=4。B=30，AK=BKtanB=4=，SABC=BCAK=8=，由（2）得：MD=BD=x，MH=MDsinMDH= x，SBDM=xx=.DEF是等边三角形且DE=4，BC=8，EC=BC-BD-DE=8-x-4=4-x，BMDCNE，SBDM：SCEN=，SCEN=，y=SABC-SCEN-SBDM= =（0x4），当x=2时，y有最大值，最大值为【点评】此题考查了相似三角形的判定
11、与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、二次函数的性质以及三角函数等知识此题综合性较强，注意数形结合思想与方程思想的应用 (2012重庆，12，4分)已知ABCDEF，ABC的周长为3，DEF的周长为1，则ABC与DEF的面积之比为_解析：相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，故可求出答案。答案：9：1点评：本题考查相似三角形的基本性质。（2012浙江省衢州，15，4分）如图，ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE.若DEF的面积为a，则ABCD中的面积为 .(用a的代数式表示)【解析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用已知得出D
12、EFCEB，DEFABF，进而利用相似三角形的性质分别得出CEB、ABF的面积为4a、9a，然后推出四边形BCDF的面积为8a即可.【答案】12a【点评】此题主要考查相似三角形的判定、性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理（2012山东省荷泽市，16(1),6）(1)如图，DAB=CAE，请你再补充一个条件_,使得ABCADE，并说明理由.【解析】从已知条件中可得出一组角对应相等，要判定两个三角形相似，可以增加另外一组对应相等或者是这两角的两边对应成比.【答案】 -2分 理由：两角对应相等，两三角形相似-6分【点评】判断两个三角形相似
13、的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用，在选择方法一定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加.（2012山东泰安，17，3分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则FC与DG的面积之比为（ ）A.9：4 B.3：2 C.4：3 D.16：9【解析】设CF=x，则BF=3-x，由折叠得F=BF=3-x,在RtFC中，由由勾股定理得CF2+C2=F2，x2+12=(3-x)2,解得x=,由已知可证RtFCRtDG，AR所以SFC与SDG的面积为（：1）2=.【答案】D.【点评】本题综合考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方。（20
