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1、第五章 留数定理（38）一、内容摘要1留数：设以有限点a为孤立奇点，则在a点的某无心领域内可以展成洛朗级数：，。我们称此展式中的系数为在a的留数，记为 2留数定理：设函数在回路所围区域B上除有限个孤立奇点外解析， 在回路上连续，则3将留数公式推广到无穷远点：设为的一个孤立奇点，则在圆环内解析，设为圆环内任一条绕原点的简单正向闭曲线，定义，为顺时针方向，取为逆时针方向。对于无穷远点的邻域来说，才是该领域边界的正方向。也即在的留数等于它在点的去心邻域内洛朗展开式中的系数变号。即其中的围道沿顺时针绕原点一周。在围道外, 除外别无奇点。4留数和定理：设函数在扩充复平面上除了有限远点以及以外处处解析，则
2、有5求留数的一般方法：1）解析点的留数为0，即泰勒展开式与洛朗展开式一样，无负一次项。2）直接求Laurent展开式的负一次项系数。3）判断极点类型，可去奇点的留数为0，本性奇点用洛朗展开式中的阶极点和一阶极点的留数为。6留数的应用计算定积分1）形如=的含三角函数的积分。定理 设为的有理函数，且在上连续，则其中 2）形如=的无穷实变积分。引理 设 沿圆弧上连续，且在上一致成立，则： 定理 设为有理函数，其中为互质 多项式，并且(i)分母的次数至少比的次数高两次；(ii) 在实轴上没有零点；则有特别地，若对应实函数为偶函数，则 定理 设(i)在区域除去有限个极点外，处处解析，且不在实轴上，(ii
3、)沿上半圆周（充分大），一致成立，则当为偶函数时，有，当为奇函数时，有其中3）实轴上有奇点的情形。定理：在实轴上有有限个一阶极点，在上半平面有有限个孤立奇点.而且,在包括实轴的上半平面中当时一致趋于零,则有.二、习题1填空题（1）在本性奇点处的留数_.,则=_（2）=_，=_（3）,则_,则_2求下列各函数在有限奇点处的留数：（1） （2） （3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） . （10）3计算下列各积分(利用留数；圆周均取正向)：（1） （2）（3） （4）4求下列函数在无穷远点的值。（1） （2） （3） （4） （5） （6）5计算下列各积分，为正向圆周：（1）（2）（3）
4、（4）6计算下列积分。（1） （2）（3） （4） （5） （6） （7） . （8）7求下列条件下函数在奇点处的留数。（1）在的领域内解析，且，而是的二阶零点；（2）是的一阶零点，是的3阶零点。8试用各种不同的方法计算。三、参考答案1填空题（1）1，（2），（3）, 2 解：（1）.由极点的第一种判断方法可得，都是的一阶极点，（2）把函数在内洛朗展开，从上式的洛朗展开式可得，为函数的三阶极点，所以有（3） 由极点的第一种判断方法可得，为的三阶极点。.（4） 为cos z的一阶零点，从而为的一阶极点。或者用洛朗展开（5） 可知，是函数的本性奇点，在内用洛朗展开式来求留数，可知，（6） ，是函数
5、的奇点，可知函数在有洛朗展开式所以，（7） 因为是的零点，从而是的极点。（i）因为，所以是的一阶极点，故（ii）由，可知，是的一阶极点，从而是的二极极点（看负次幂的最高项的次数），所以（8），且是的一级零点，且，所以是的一级极点。所以 注：（9）为的三阶极点，故有 （10）直接用公式很麻烦，z=0为三阶极点，并且很难判断为三阶极点。直接用洛朗展开式很简单所以 故留数为3解：（1）因为，所以为的可去奇点，所以由留数定理可得：（2）为的二阶极点，由留数定理可得：（3）函数有4个一阶极点,但在圆:，外除无穷远点外无其它奇点根据留数定理和,有（4）有三个奇点,其中在圆内，3在圆外并且为一阶极点, 因此
6、,根据留数定理，有.再由留数的求法，有，所以 4解：（1）为求函数在的留数，根据可知，改求函数在有限奇点处的留数。函数有两个有限远奇点，且都是一阶极点。所以（2）令，则的洛朗级数就是其本身，所以（3），则，所以（4）非孤立奇点无留数。（5），则=，所以（6）5解：（1）可以验证被积函数的奇点为，六个 奇点全部位于的圆内，则有，而=5，所以（2）将函数在有限远奇点为，并且知为一阶极点，为本性奇点（求其留数只能用洛朗展开）可求其留数和来求积分。而我们将转化为在处留数的计算。方法一 ：将在的去心领域内做洛朗展开：所以方法二：所以，（3）被积函数的奇点为1和1，均位于圆内，所以，由最后可得（4）被积函
7、数的奇点为在单位圆内的奇点为是单极点，于是点留数为，故6 解：（1）设则所以令，则在内只有一个一阶极点，根据留数定理，（2）设，并且在实轴上没有奇点，且为其二阶极点，其中在上半平面，所以 （3）设，因为在上半平面内有一阶极点，且所以（4）作变换，则，被积函数有两个单极点，其中在单位圆内，其留数为（5）作代换，令： 被积函数有二个极点在圆内，仅有，且为一阶极点，留数所以（6）在上半平面有单极点，在实轴有单极点，它们的留数为（7）显然有：这里，在上半平面有一阶极点，在实轴上有一阶极点，留数为，所以（8）有这里，且，只有两个一阶实极点，它们的留数为，所以，7 解：（1）因为，其中在点的领域内解析，且，因此。至少在内解析，且，故为的二阶极点，留数为（2）因为，其中在点的领域内解析，且。同理，因为是的3阶零点，故亦有，其中在点的领域内解析，且。因此，其中至少在内解析，且，故为的二阶极点，留数为为的二阶极点，留数为8解：方法一用定义式计算，因为在中 所以.方法二 用定义式计算 方法三 用单极点处留数计算公式计算方法四 用单极点处留数计算公式计算方法五 用计算，因为而在中 所以而
