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1、佛山一中2015届高三上学期期中数学(理科)试题一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 若复数满足(为虚数单位),则的共轭复数为( )ABCD 2 .已知几何体的三视图如图,则该几何体的体积为( )A. B. 4 C. D. 3. 设、为不同的平面,m、n、l为不同的直线,则m的一个充分条件为( )A. , =l , ml B. =m, , C. , , m D. n, n, m4. 设等差数列的前项和为,若,则( )A63 B45 C36 D275 设,则a,b,c的大小关系是 ( )A B. C. D. 6. 设,向量且,则
2、=( ) A .0 B.1 C.2 D.-27.如图,一直线与平行四边形的两边分别交于两点,且交其对角线于,其中,,,则的值为( ) A B C D8对于下列命题:命题“”的否定是“”;在中“”的 充要条件是“”;设,, ,则;将函数图象的横坐标变为原来的3倍,再向左平移个单位,得到函数)图象。其中真命题的个数是( )A. 4 B. C. D. 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,满分30(一)必做题:(913)9.已知 。10 已知函数 的图像如图所示,则 。 11过点作曲线的切线,设该切线与曲线及轴所围图形的面积为则 . 12.已知,函数若,则实数的取值范围为 .13如图,多面体OAB
3、CD,AB=CD=2,AD=BC=,AC=BD=,且OA,OB,OC两两垂直,给出下列 5个结论: 三棱锥OABC的体积是定值; 球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是; 直线OB/平面ACD; 直线AD与OB所成角是600; 二面角AOCD等于300 其中正确的结论是_。(二)选做题(14 15题,考生只能从中选做一题)14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆上的点到直线的CDMBNOBAP距离的最小值是 .15.(几何证明选讲选做题)如图所示,过O外一点A作一条直线与O交于C,D两点,AB切O于B,弦MN过CD的中点P已知AC=4,AB=6,则MPNP= 三、解答题(共80分)
4、16(本题满分12分) 已知(1)求f(x)的周期及其图象的对称中心;(2)ABC中,角A、B、C所对的边分别是、b、c,满足(2c)cosB=bcosC,求的值17.(本小题满分12分)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设甲、乙、丙面试合格的概率分别是,且面试是否合格互不影响.求:()至少有1人面试合格的概率;()签约人数的分布列和数学期望.18.(本小题满分14分) 如图,在三棱锥中,底面ABC,,AP=AC, 点,分别在棱上,且BC/平面ADE()求证:DE平面;()当二面角为
5、直二面角时,求多面体ABCED与PAED的体积比。19(本小题满分14分)等比数列的前n项和为, 已知对任意的 ,点,均在函数且均为常数)的图像上. (1)求r的值; (2)当b=2时,记 求数列的前项和20. (本题满分14分)如图,四棱柱的底面是平行四边形,且,为的中点, 平面.()证明:平面平面;()若,试求异面直线与所成角的余弦值;()在()的条件下,试求二面角的余弦值. 21(本小题满分14分)已知函数(1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围;(2)当时,试比较与的大小;(3)求证:()佛山一中2015届高三上学期期中考数学(理科)参考答案及其评分标准就是2sinA cos
6、B = sinBcosC +sinC cosB即2sinAcosB=sin(B+C) =sinA.9因为2sinA0所以cosB=又因为0B所以B=10所以,f(B)=sin(.1217. 解: 用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A,B,C相互独立,且P(A)P(B), P(C) 2分()至少有1人面试合格的概率是4分()的可能取值为0,1,2,3. 6分 = =8分 9分 10分所以, 的分布列是0123P11分的期望12分18解:()BC/平面ADE, BC平面PBC, 平面PBC平面ADE=DEBC/ED 2分PA底面ABC,BC底面ABC PABC. 3分又,ACBC
7、. PA与AC是平面PAC内的两条相交直线5分BC平面PAC. 6分又BC/EDDE平面. 7分()由()知, DE平面PAC,又AE平面PAC,PE平面PAC,DEAE,DEPE,AEP为二面角的平面角, 10分,即AEPC, 11分AP=AC, E是PC的中点,ED是PBC的中位线。12分 14分 (用向量做对,可酌情给分)19解:因为对任意的,点,均在函数且均为常数)的图像上.所以得,2分当时, 3分当时, 5分又因为为等比数列, 所以, 公比为, 所以7分(2)当b=2时,, 9分则 相减,得 F所以14分20、解()依题意, 所以是正三角形, 又 所以, 2分因为平面,平面,所以 3
8、分因为,又在平面内所以平面 4分因为平面,所以平面平面 5分()取的中点,连接、 ,连接,则 所以是异面直线与所成的角 7分因为, 所以 , 所以 9分()解法2:以为原点,过且垂直于的直线为轴,所在直线为轴、所在直线为建立右手系空间直角坐标系 设(), 则 ()设平面的一个法向量为, 则 ,取,则,从而, 同理可得平面的一个法向量为, 直接计算知,所以平面平面 ()由即 解得 , 所以异面直线与所成角的余弦值 ()由()可知,平面的一个法向量为 又,设平面的法向量则得 ,令,则所以 11分设二面角的平面角为,且为锐角 则 13分所以二面角的余弦值为 14分21、解:(1)当时,定义域是, 令,得或 2分当或时,当时, 函数在、上单调递增,在上单调递减 4分的极大值是,极小值是当时,; 当时,当仅有一个零点时,的取值范围是或5分 (2)当时,定义域为 令, , 在上是增函数 7分当时,即;当时,即;当时,即 9分(3)(法一)根据(2)的结论,当时,即令,则有, 12分14分 (法二)当时,即时命题成立 10分设当时,命题成立,即 时,根据(2)的结论,当时,即令,则有,则有,即时命题也成立13分1 2 3 4 5 6 n-1 n因此,由数学归纳法可知不等式成立 14分(法三)如图,根据定积分的定义,得11分, 12分,又,14分