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1、 高分子材料流变学第二章第二章 基本物理量和高分子液体的基本流变性质1 引言经典弹性理论。Hooke定律记为： （2-1）式中、分别为拉伸形变和剪切形变，E、G分别称Yangs氏模量和剪切模量，它们是不依赖于时间、形变量的材料常数。经典流体力学理论。Newton粘性定律表述为 （2-2）式中为剪切速率，为Newton粘度，是与时间和剪切速率无关的材料常数。实际高分子液体流动时，表现出比上述两种情形复杂得多的性质。一是体系受外力作用后，既有粘性流动，又有高弹形变，体系兼有液、固双重性质。外力释去时，仅有弹性形变部分可以恢复，而粘性流动造成的永久形变不能恢复。 二是高分子液体流动中表现出的粘弹性，
2、偏离由Hooke定律和Newton粘性定律所描写的线性规律，模量和粘度均强烈地依赖于外力的作用速率，不是恒定的常数。更重要的，应力与应变间的响应，不是瞬时响应，即粘性流动中的力学响应不唯一决定于形变速率的瞬时值，弹性形变中的力学响应也不唯一决定于形变量的瞬时值。由于高分子的力学松弛行为，以往历史上的应力（或应变）对现时状态的应变（或应力）仍产生影响，材料自身表现出对形变的“记忆”能力。实际上，高分子液体流动时，其内部的应力状态十分复杂，既存在剪切应力，还存在法向应力，各个不同法向上的应力值不等。为此需要对这种复杂应力状态和我们不熟悉的大形变有限形变的度量给出恰当定义和严格数学描述，由此才能正确
3、描述高分子液体的非线性粘弹性质。要定义的基本物理量有：应力张量、偏应力张量；形变张量、形变率张量、速度梯度张量；基本流变学函数有：剪切粘度，第一、二法向应力差函数，拉伸粘度等。2 基本物理量21 应力与偏应力张量物体在外力或外力矩作用下会产生流动或（和）形变，同时为了抵抗外力的作用（流动或形变），物体内部产生相应的应力。应力通常定义为材料内部单位面积上的响应力，单位为Pa（1Pa= 1N/m2）或MPa (1MPa = 106 Pa)。在平衡状态下，物体所受的外应力与内应力数值相等。牵引力和应力张量首先考察流动过程中物体内一点p点的应力。在物体内取一小封闭曲面S，令p点位于曲面S外表面的面元上
4、（法线为n，指向曲面S外部），考察封闭曲面S外的物质通过面元对曲面S内物质的作用力（见图2-1）。设面元上的作用力为，则定义 （2-3）为p点处具有法线n的面元上的平均表面牵引力，注意牵引力t与法线n的方向一般并不重合。图2-1 面元上的表面牵引力在p点处，通过p的每个方向都可求出相应的牵引力t 。可以证明，描述流体内一点的应力状态，只需求出任何过该点的三个正交独立曲面上的牵引力就足够了。这三个力一般与选定的三个正交独立坐标方向不重合（因为牵引力是客观存在的，而坐标轴的选择具有任意性），于是可以将沿坐标轴方向分解，得到 （2-4）写成张量式： （2-5）或者简单地 （i，j =1，2，3） 二
5、阶张量（）完整地描述了p点的应力状态，称之为p点的应力张量。（）中第一个下标i表明力的作用面（面元）的法线方向，第二个下标j表示牵引力的分量序号。例如T12指的是作用在第一个面元上的牵引力t 1在n 2方向的分量。图2-2给出了个应力分量的位置关系。图2-2 单位立方体上各应力分量的位置关系图中，所有分量都作用在相应面元的切线方向上，称为应力张量的剪切分量；而所有（i =1，2，3）分量都作用在相应面元的法线方向上，称为应力张量的法向分量。剪切力的物理实质是粘滞力或内摩擦力，法向力的物理实质是弹性力（拉力或压力），于是应力张量可以完整地描述粘弹性物体在流动过程中的复杂内应力状态。 按Cauch
6、y应力定律，在平衡时，物体所受的合外力与合外力矩均等于零。于是平衡时，应力张量中沿主对角线对称的剪切分量应相等，即 （i，j =1，2，3） (2-6) 这表明，平衡时应力张量为对称张量，其中只有六个独立分量。三个为法向应力分量：（i =1，2，3），三个为剪切应力分量：。偏应力张量 并非所有应力张量的值都与材料的流动（或形变有关）。根据力的性质不同，应力张量可以分解表示。其中最常见的一种分解方式形式如下： （2-7）式中称张量T的迹，I为单位张量，称偏应力张量。 若定义 （该定义有一定任意性） （2-8）则T分解成 （2-9）分量式 （2-10）称p为各向同性压力（静水压力），处在任何状态下
7、的流体内部都具有各向同性压力。它作用在曲面法向上，且沿曲面任一法向的值相等，负号表示压力方向指向封闭曲面的内部。称为Kronecker ，是单位张量的一种表示法。单位张量I通常记为： （2-11）（2-9）式表示，应力张量可以分解为各向同性压力和偏应力张量两部分。偏应力张量是应力张量中最重要的部分，直接关系到物体流动和形变（粘性形变和弹性形变）的描写，是我们研究的重点。与应力张量相似，偏应力张量也是对称张量，只有六个独立分量。三个为法向应力分量：（i =1，2，3），三个为剪切应力分量：。注意公式（2-8）定义的各向同性压力（p）具有一定的任意性，它并不一定真正等于液体内部的真实静水压力，由此
8、它将影响到偏应力张量中法向分量的值。下面将证明，偏应力张量中法向分量的绝对值并无很大意义，重要的是沿不同方向的法向应力分量的差值，它们对于描述非牛顿流体的弹性行为十分重要。另外我们指出，当各向同性压力（p）按（2-8）式定义时，下式成立：11+22+33= 0 （2-12）例1静止液体的内应力静止液体内只有法向应力（实际上就是各向同性压力），无剪切应力，故各应力分量为 ，应力张量记为 （2-13）即应力张量只有各向同性压力部分，偏应力张量为零张量。这是任何静止的平衡液体，或静止或流动的无粘流体的应力状态。例2 均匀拉伸或压缩 设流体只受到一个方向的拉力或压力，此外不再有任何其它作用力，各应力分
9、量为： ， 而为常数。 （2-14）此时体系处于沿方向的均匀拉伸或压缩状态。为拉伸，为压缩。材料在单轴拉伸流场中（纺丝过程）处于这种应力状态。具体分解式：例3 均匀剪应力在分层流动的简单剪切流场中，可能发生均匀剪应力（图2-3）图2-3 简单剪切流场流体的应力状态为：只有剪切分量，常数，而所有其他剪切分量为零。现在考察简单剪切流场中材料所受法向应力的情况。重点强调Newton流体与高分子流体在简单剪切流场中不同的应力状态。Newton流体只有粘性而无弹性，偏应力张量中，各法向应力分量等于零，。应力张量T中所有法向应力分量均可归于各向同性压力，。而应力张量T分解为： （2-15）偏应力张量中只有
10、一个独立分量剪切应力分量，故只需定义一个函数粘度函数就可以完全描述其力学状态。高分子液体是粘弹性流体，在剪切场中既有粘性流动，又有弹性形变，一般情况下偏应力张量的三个法向应力分量不等于零，而且互不相等，。因此要完整描述高分子液体的应力状态，偏应力张量中至少需要有4个应力分量12、11、22、33。 应力张量分解如下： （2-16）流变函数除了定义粘度函数外，还要定义与法向应力分量相关的函数。注意偏应力张量中法向应力分量的值与各向同性压力的大小有关。由于（2-8）式给出的各向同性压力的定义有一定任意性，使得应力张量的分解有多种结果。见下例，同一个应力张量给出两种不同的分解方法。 或者 两种结果中
11、各向同性压力的值不同，由此导致偏应力张量中法向应力分量ii的值不同。但是可以看出，不管应力张量如何分解，偏应力张量中两个法向应力分量的差值11-22，22-33始终保持不变。这给予我们重要的启示，在高分子液体流变过程中，单独去追求法向应力分量ii的绝对值没有多大意义。重要的是，两个法向应力分量的差值在各种分解中始终保持不变，于是我们就可以定义两个法向应力差函数来描写材料弹性形变行为： 第一法向应力差函数 N1=11-22 (2-17) 第二法向应力差函数 N2=22-33 （2-18）N1、N2加上粘度函数，用此三个函数就可以完整描写简单剪切流场中高分子流体的应力状态和粘弹性。2 2 形变和形
12、变梯度张量形变物体在平衡外力或外力矩作用下发生形状和尺寸的变化。按宏观表现来分类，形变可分为简单剪切、均匀拉伸和压缩、纯剪切、纯扭转、纯弯曲、膨胀和收缩等。实际物体的形变往往是这些简单形变的复杂组合。高分子液体流动中发生的主要形变方式有剪切、拉伸、压缩及其组合。例1 简单剪切形变图2-4 简单剪切形变简单剪切形变的描述方程： （2-19）注意，X2 =常数的平面为剪切平面，X1方向为物体层面平移的方向。角的大小可以作为简单剪切形变的度量（当很小时）。简单剪切形变不引起物体任何部分体积的改变。例2 均匀拉伸形变若物体在三个坐标轴方向都有伸缩形变，则形变可由如下方程描写： (2-20)式中称为拉伸
13、比，可为常数或时间t的函数，的值可以作为拉伸形变的一种度量。若，则表明物体经历均匀膨胀或压缩；假定在拉伸形变过程中材料的体积保持不变，则有。图2-5 一维拉伸和二维拉伸形变图2-5给出两种典型的拉伸形变过程。（a） 表示一维拉伸形变，其形变度量可记为：；（b） 表示二维拉伸形变，材料在x2、x3两个方向受到拉伸，形变度量记为：。由上述二例可以看出，所谓物体的形变实际上可视为该物体在不同时刻，在空间占有不同位形（也称构型，configuration）的相互比较。选择物体的原形为参考位形（reference configuration），而后一系列时刻中，物体在空间分别占有一系列不同的即时位形。选择任一时刻物体的位形与参考位形对比，就是对物体形变的描述；在时间序列中，对物体位形连续变化的描述就是对物体流动的描述。这是我们对物体流动和变形纳入统一认识的新的描述法。固体和液体的差别：对固体而言，它有原始形状，一般取原始位形为参考位形。液体无原始形状，人们只能根据现在时刻其占据的位形加以区别，故一般选现在时（t）的
