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1、六年级上数学教学实录-数学广角数与形人教新课标一、谈话导入1、师：同学们，我们学过了哪些数学知识？生：分数乘法。师：这是关于数的知识。生：我们学过小数乘法。师：这也是关于数的知识。生：我们学过长方体正方体的体积。师：这是关于形的知识。生：我们学过比。师：这是关于数的知识。生：我们还学过奇数偶数。师：这也是关于数的知识。（将以前学过的知识进行整理，都可以分为“数”和“形”两类）2、图片欣赏。师：让我们来看一幅图片，图片中有什么？生：花坛。师：说具体点。生：一个正方形花坛。师：在这句话中就既有数、又有形。（演示：数：一个 形：正方形 物： 花坛）师小结：（录音中不包括）二、探究新知。1、从1开始的
2、n个连续奇数相加的和是多少？师：n个是几个？生：无数个。师：这个n代表多少？可以代表300吗？生：可以。师：有可能是300个，有没有可能是30个？有没有可能是3个？也就是说，它的个数是不固定的。那它的个数不固定，它的和呢？生：也不固定。师：可见这个和必定和这个n有关系。那它到底有什么联系呢？怎么才能知道它有什么联系？师：你有方法吗？想一想你有没有好的思路？生：可以自己先算一算。师：怎么算？生：先算出10个，然后再进行推算。师：真好。他的意思是把n先假定在10个以内，对吗？很好的策略。复杂的问题往往要从简单的开始。那我们就听你的，把n的个数假定在10个以内，举一些例子来看一看他们有什么联系。几个
3、最简单？生：1个。师：1个最简单，那我们来看。如果有1个这样的奇数那算式也只能是1，和也是1。师：如果有两个这样的奇数相加，那算式应该是什么样子的？生：1+3师：对吗？和呢？生：4师：它们是不是有联系？继续。3个。生：1+3+5师：同意吗？和呢？生：9师：再来一个。生：1+3+5+7师：同意吗？和是？生：16.师：我想是不是有同学观察到了什么？你有什么发现？先在小组说说你的发现，关键是下面的算式是不是都有这个规律？任选一个验证一下。师：（巡视指导）任选一个验证一下，看看下面的算式是不是也有这样的规律，规律应该是有连续性的。2、小组汇报交流。师：同学们有发现吗？谁来说一下你有什么发现。生：每个后
4、面的数都是加2，而且都是奇数。生：后面得的这个数都是前面这个数的平方倍。师：你能找一个数解释一下吗？生：5，算式是1+3+5+7+9=25师：那你说一下5和25的关系。生：25是5的平方倍。师：25是5的平方。你们有没有这样的发现？你们验证的是哪一个？生：我们验证的是6.师：6，6个这样的奇数相加是多少？生：36.师：算式是1+3+5+7+9+11=36，也有这个规律。那大家再来看这些是不是都有这个规律？为了便于观察，我们可以将算式先隐藏起来，大家看一看，确认一下，有这个规律吗？3、小结。师：按照刚才这个同学的说法，当有1个这样的奇数相加的时候，它的和就是11；也就是1的平方；当有2个这样的奇
5、数相加，它的和4就是2的平方；9呢？3的平方；16呢？4的平方；25呢？5的平方。依次这样下去，看来真的有这样的规律。以此类推，如果有20个这样的连续奇数相加，你觉得它的和应该是多少？生：400.师：怎么算的？生：2020=400师：那如果有100个这样的连续奇数的和应该是多少？生：100100=10000.师：以此类推，如果有n个这样连续奇数相加的和应该是多少？生：n的平方。师：齐读。生：从1开始的n个连续奇数相加的和是n的平方。师：这个规律有意思吗？从1开始的几个连续奇数，它的和竟然可以用它的个数的平方来算。你觉得奇怪吗？你不奇怪能不能来解释一下？为什么这样连续奇数相加是它的和可以用个数的
6、平方来算？生：比如说5，就是5个数相加，它的和就是5的平方。生：可以用简便算法来试试。10个连续奇数，可以看做是1+19,3+17,5+15,7+13,9+11，就是5个20相加。师：你用了另一种算法，但是仍然不能解释为什么它们的和要用个数的平方来算。4、小组交流。师：说实话，同学们，如果这个道理从数的道理来解释，还真的不太好解释，那该怎么办？华罗庚说过：“不懂就画图”，我们为了让大家听得更清楚，老师准备了一幅画，我们来拼图。我来做个示范。哪个最简单？生：1师：我用1个红色的正方形来代表1，1行而且1个，1乘1还是1，下一个1+3,你能用这样的图形来表示出来吗？拼出个1+3行不行？大家小组内都
7、有这样的小正方形，拼一拼。（巡视指导）5、小组展示。师：请问，这可以表示1+3吗？（指着横排成一排的）师：“1”在哪里？（红色）“3”呢？（黄色）这个是不是可以表示1+3？师：这个正方形可以表示1+3吗？生：可以。师：“1”在哪里？（红色）“3”呢？（黄色）。这都表示1+3.关键是我们不光是能够表示1+3，还要解释1+3为什么用22来算。那哪一个图形既能表示1+3，又能表示22呢？师：说一说，22在哪里？生：每行有两个，有两个2，就是22。师：有两列，而且有两行，就表示22。看来，拼成正方形，就可以表示从1开始的这样的连续奇数相加，还可以表示一个数的平方。这样的1+3是不是也可以用22来算？那
8、下一个，1+3+5又该怎么拼?你来试试看。（学生拼图：1+3+5，教师巡视。）6、师：大家看，你们拼成一个正方形了吗？我看到大家拼的正方形的样子都不太一样，颜色的排列不同，这位同学排的好不好？好在哪里？生：最小的数量在最里面，中间的数量在中间，最大的数量在最外边。师：对，大家虽然都拼成了正方形，但是我们数学上要讲究顺序、规律、条理，这位同学拼的非常好。这样，你能解释1+3+5用3的平方来算呢？生：因为他们横着竖着都是三个。师：横着每行有三个，而且有三行，所以可以用3的平方来计算。那1+3+5+7你会拼了吗？方块已经没有了，让我们来想一想，如果在这个（1+3+5）的基础上再加上7个，你觉得这7个
9、可以怎么摆？生：按照原来的方法再摆一层。师：继续想，拼完之后又是什么图形？生：正方形。师：这个正方形的每条边上有几个小方块？有几行？（课件演示不同的颜色），这些不同的颜色分别表示几？为什么1+3+5+7可以用4的平方来算？生：因为这几个不同颜色的方块拼在一起就组成了大大的正方形，这个正方形可以拼成4行，每行有4个，可以用4的平方来计算。师：同学们，如果继续这样拼下去，再加上一个奇数，9，现在有几个奇数？而且小正方形每条边上的个数也变成5个，而且有这样的5行，所以它的和可以用5的平方来算。那，继续这样拼下去，再增加一个奇数，11，它的总和可以用6的平方来算。再来一行呢？可以用7的平方，以此类推，
10、如果有n个这样的连续奇数，那就可以用n的平方来算。师：这个规律你现在弄明白了吗？我们是怎么弄明白的？生：在我们不懂得时候就可以用形状来解。生：形可以很简便的了解不会的问题。7、小结师：是的，数是很抽象的，很多道理我们需要借助形的力量来理解，把数化成形之后，可以使复杂的数量关系变得更加的清楚、明白，我们把这样的过程叫做“化数为形”，然后以形来助数，帮助理解数量关系。8、师：那数的规律可以借助图形来帮助思考，那形的变化背后是不是也隐藏着数的规律呢？师：我来口述一个问题，大家来思考。有一种桌子，四面坐人可以坐8个人，如果两个桌子拼到一起就可以坐12个人，3张桌子拼到一起可以坐16个人，这样的100张
11、桌子拼到一起可以坐多少个人？师：你听懂了吗？其实这个事挺简单的，但是用话说却说不明白，你们有没有好的方法？生：画图。师：如果画出来的话，（课件演示）1张桌子可以坐8个人，2张桌子可以坐12个人，3张桌子可以坐16个人，100张桌子可以坐多少人？小组讨论交流，把答案写在作业纸上。（小组讨论交流。）师：小组同学来说一说你们的做法。师：请你借助图形来说一说你为什么这样做？生：我们组算的是一共有404人。100张桌子拼在一起，这一边也就是它的长边一共有400个人，再加上两头有4个人，一共有404人。生：它每张桌子的两边坐4个人，他有100张桌子，再加上边上就是它的宽分别坐2人，400+4=404人。师
12、：算式就是1004,1004的意思就是每张桌子两边都坐4个人，100张桌子就做400个人，旁边还有4人，所以需要在加上4，等于404人。师：还有其他做法吗？生：我们小组是这样想的，把第一张桌子去掉的话，每增加一张桌子就增加4个人，8+499=404人。师：算式是这样的，8先不看，多了99张桌子，每多一张桌子就多4个人，所以多了499这些人，然后再加上8人等于404人师：我想问一下，这是一个图形的问题，为什么你们不去画图，却用数来算呢？生：老师我感觉画图太麻烦了，因为它有100张桌子。师：对，画图太麻烦了，这时候需要借助数的力量，把形的计算问题用数来做会更加的快速、简便而且准确。那我们把这样的过
13、程叫做化形为数，然后以数来解形。（板书）师：同学们，回顾这两个例子，在第一个例子当中，数的问题可以借助图形来思考，而第二个例子当中，形的知识可以借助数来计算，数和形各有优点，它们一一对应而且可以互相转化，互为补充，这就意味着要求我们在解决问题的时候要把数和形结合起来，这在数学上是一种重要的思想，就叫“数形结合思想”。师：对于“数形结合”，我国数学家华罗庚先生有一段话非常好。让我们一起读一遍：生：数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。师：数形结合百般好，可是怎样做到数与形的结合呢？我想，这既然是一种思想，那我们还是要落脚到这两个数上，“思”和“想”，也就是要见“数”思“
14、形”，见“形”想“数”。 试试你能不能够做到。9、巩固练习师： 有这样一道算式（32），你能够想到什么图形？生：我能想到一个长方形。师：为什么？生：因为可以想象它的长是3，高是2,6就是他们的面积。师：大家说有没有道理？可见数的变化背后却是隐藏着形。师：再来看，这是一位同学画的一副图形，它用来表示一个数，你觉得它是那一个数呢？生：我觉得是3.5，因为前面它画的三根一样的线表示3个整数，后边画了前面一根线的二分之一，所以变成3.5师：有没有道理？它可以表示35吗？生：可以师：为什么可以？生：比如说他前面三个整数可以想象一个整数为10，然后就是35.师：有这样一个数量关系，一袋大米中60千克，吃了
15、四分之三，你能够想到用什么图形来表示它？生：我想到用一个边长为4厘米的的长方形来表示。生：把一个长方形平均分成四份，每份是1厘米。师：那即是说把它平均分成4份，吃了的是3份。10、师：这样一个图形，你会想到是几的平方？为什么？生：因为这个正方形边长均为3，师：边长为3可以用3的平方来表示，我们把3的平方还原成像第一张那样几个连续奇数的相加这个算式，这应该是什么样子的？生：1+3+5师：那这样的一个算是又可以用几的平方来表示？生：应该是4的平方，因为把它倒过来后就等于1+3+5+7,所以可以用4的平方来表示，师：那4的平方你又能想到什么图形？生：可以想象出一个正方形。师：多大的正方形？生：边长为4的正方形。师：如果把上边的算式合起来，和应该是多少？师：想一想，3的平方等于几？4的平方等于几？9+16=25，是5的平方师：5的平方你又能想到什么图形？生：边长都是5厘米的正方形。师：大家看，一个有趣的算式出现了，3的平方加4的平方等于5的平方，这个有趣的算式背后还隐藏着有趣的图形，大家看，直角三角形它的一
