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1、电 磁 学第二章 有导体时的静电场第二章 有导体时的静电场导体：导电能力极强的物体。绝缘体（电介质）：导电能力极微弱或者不能导电的物体。半导体：导电能力介于两者之间的物体。导体和电介质放入静电场后，静电场不仅要影响导体和电介质中电荷的分布，而且电荷分布变化后，反过来又要影响电场的分布。导体和绝缘体有着完全不同的静电特性，静电现象的一切应用，实际上是导体和电介质静电特性的运用。研究导体和电介质的静电特性以及导体和电介质内外电场分布的图像，具有重要意义。几个常用的术语：总（净）电量不为零的导体叫做带电导体；总（净）电量为零的导体叫做中性导体；与其他物体距离足够远的导体叫做孤立导体。这里的足够远是指
2、其他物体的电荷在我们所关心的场点上激发的场强小到可以忽略。本章讨论静电场中有金属导体存在时的各种问题，并介绍几个新的物理量。1 静电场中的导体一、导体的静电平衡金属导体是以金属键结合的晶体，由许多小晶粒组成，每个晶粒内的原子作有序排列而构成晶格点阵。组成晶体时，晶格结点上的原子很容易失去外层的价电子，成为正离子。而脱离原子核束缚的价电子则可以在整个金属晶体中自由运动，称为自由电子。金属导体在电结构上的重要特征就是具有大量的自由电子。导体不带电或不受外电场作用时，自由电子只作热运动，不发生宏观电量的迁移，自由电子和晶格点阵的正电荷互相中和，因而整个金属导体的任何宏观部分都呈电中性状态。金属导体放
3、入电场强度为的静电场中，金属的自由电子在外电场的作用下相对于晶格作定向运动，并在导体的一个侧面集结，使该侧面出现负电荷。而相对的另一侧面则出现正电荷，这就是静电感应现象。由此产生的电荷称为感应电荷。相对侧面上的感应电荷电量相等而符号相反。感应电荷在空间必然产生电场，该电场与原来的电场叠加，改变了空间各处的电场分布。我们把感应电荷产生的电场称为附加电场，用表示。空间任意一点的场强可表示为：在导体内部，附加电场与外电场方向相反，只要不足以抵消，导体内部的自由电子的定向运动就会继续，感应电荷增加，相应增大，直至与完全抵消，导体内部的电场为零。在金属导体中，自由电子没有定向运动的状态，称为静电平衡状态
4、。导体静电平衡的必要条件就是导体内任一点的电场强度都等于零。金属导体建立的静电平衡过程是静电感应发生并达到稳定的过程。实际上，这个过程是在极短的时间内完成的，故我们不讨论静电平衡过程，而仅讨论导体处于静电平衡状态的性质。感应电荷激发的附加电场，不仅导致导体内部的场强为零，改变了导体外部空间各处原来电场的大小和方向，甚至还会改变产生原外加电场的带电体上的电荷分布。根据静电平衡时金属导体内部不存在电场，自由电子没有定向运动的特点，处于静电平衡的金属导体具有如下的性质： 整个导体是等势体，导体表面是等势面。在导体内部任取两点P和Q，它们之间的电势差可以表示为因为处于静电平衡的导体内部电场强度为零，上
5、面的积分必定为零，所以可见导体内部任意两点的电势都相等，整个导体必定是等势体，等势体的表面必定是等势面。 导体表面附近的场强处处与表面垂直因为等势面与场强方向互相垂直，所以导体表面附近的电场强度必定与该处的表面相垂直。 静电平衡的导体上的电荷分布处于静电平衡的导体上的电荷分布具有以下规律：1、处于静电平衡的导体，其内部不存在净电荷，电荷只能分布在导体的表面上用高斯定理证明。在导体内部任取一闭合曲面S，运用高斯定理：因为导体内部的，上式积分为零，必定有，所以导体内部不存在净电荷。2、处于静电平衡的导体，其表面上各处的面电荷密度与该处表面紧邻处的电场强度的大小成正比导体表面是等势面，根据等势面与电
6、场线相互垂直的性质，导体外紧靠表面处的电场方向垂直于导体表面，设导体表面附近的电场强度为。在导体表面取一面元dS，认为电荷在dS区域内分布是均匀的，电荷面密度为（）。包围dS作一柱状闭合面，上下底面均为dS，且与表面平行，上底面在导体表面外侧，下底面在导体内部。由于圆柱侧面与电场强度方向平行，电通量为零；导体内部电场强度为零，下底面的电通量也为零。通过整个闭合面的电通量就等于上底面的电通量。根据高斯定理：因为上底面的法线方向与导体表面的外法线方向一致，且有，所以该处的场强方向垂直于导体表面指向导体外部，故表面附近的电场强度可表示为表明带电导体表面附近的场强大小与该处电荷面密度成正比，场强方向垂
7、直于表面。这一结论对孤立导体（孤立导体是指远离其他物体的导体，其他物体对其影响可以忽略不计）或处在外电场中的任意导体都普遍适用。注意：导体表面附近的场强不单是由该表面处的电荷所激发，它是导体面上所有电荷以及周围其他带电体上的电荷所激发的合场强，外界的影响已经在中体现出来。3、孤立导体处于静电平衡时，它的表面各处的面电荷密度与各处表面的曲率有关，曲率越大的地方，面电荷密度也越大电荷在导体表面上的分布与导体本身的形状以及附近带电体的状况等多种因素有关，即使对于其附近没有其他导体和带电体，也不受任何外来电场作用的所谓孤立导体来说，电荷在表面上的分布与自身之间也没有简单的函数关系。但存在大致的规律：表
8、面凸起部尤其是尖端处，面电荷密度较大；表面平坦处，面电荷密度较小；表面凹陷处，面电荷密度很小，甚至为零。设两个半径分别为R和r的球形导体（），用一根很长的细导线连接，使两个导体带电，电势为。两个导体组成的整体可以看成孤立导体系，在静电平衡时必定是等势体。假设两个导体相距很远，每个球面上的电荷分布在另一个球面上所激发的电场可以忽略不计，线的作用是使两球保持等电势，线上的电荷分布可以忽略不计，因此每个球可以看作孤立导体，两球表面的电荷分布各自都均匀分布。设大球所带电量为Q，小球所带电量为q，则两球的电势为由两球电势相等，可得，（）可见大球所带电量Q比小球带的电量q多。但两球的电荷密度分布为所以可见
9、，电荷密度与曲率半径成反比，即曲率半径越小，电荷面密度越大，小球上的面电荷密度反而比大球要大。应该指出，当两球相距不远时，两球所带的电荷的影响不能忽略不计，这时每个球都不能看成孤立导体，两球表面上的电荷分布也不可再看成均匀的。同一球面上各处曲率半径虽然相等，但电荷面密度却不再相同，因此电荷面密度与曲率半径成反比并不是一个普遍的结论。由上面的结论可以看出，对于可近似看成孤立导体的导体，表面凸起部尤其是尖端处，面电荷密度较大，附近的电场强度也较强。对于具有尖端的导体，无疑尖端处的电场特别强，在导体的尖端附近，由于场强很大，当达到一定量值时，空气中原有残留的离子在这个电场的作用下将发生剧烈运动，并获
10、得足够大的动能与空气分子碰撞而产生大量的离子。其中与导体上电荷异号的离子，被吸引到尖端上，与尖端上的电荷中和；与导体上电荷同号的离子受到排斥而从尖端附近飞开。从外表上看，就好像尖端上的电荷被“喷射”出去放掉一样，所以这种现象称为尖端放电。在高电压设备中，为了防止因尖端放电而引起危险和漏电造成的损失，输电线的表面应是光滑的。具有高电压的零部件的表面也必须做得十分光滑并尽可能做成球面。与此相反，在很多情况下人们还利用尖端放电。火花放电设备的电极往往做成尖端形状。避雷针就是根据尖端放电原理制造的。当雷电发生时，利用尖端放电原理，使强大的放电电流从和避雷针连接并良好接地的粗导线中流过，从而避免了建筑物
11、遭受雷击的破坏。在离子撞击空气分子时，有时由于能量较小而不足以使分子电离，但会使分子获得一部分能量而处于高能状态。处于高能状态的分子是不稳定的，总要返回低能量的基态。在返回基态的过程中要以发射光子的形式将多余的能量释放出去，于是在尖端周围就会出现黯淡的光环，这种现象称为电晕。二、带电导体所受的静电力设是导体表面含P点的小面元，是P点的电荷面密度，则（作为一个电荷为的点带电体）所受到的静电场力为其中是除了外所有电荷在P点贡献的场强。设P1是从P出发沿着导体表面法向稍作外移所到的点，则P1点的场强为它可分解为两部分，其中是在P1的场强，是除了外的电荷在P1的场强。因为P1可任意靠近P，对它而言可被
12、视为均匀带电无限大平面，则，于是， P是带电面上的点，场强在P点有突变，但这里是指总场强E。由于激发分场强的电荷已不含的电荷，在P点是连续的，既然连续，相距极近的点P和P1的就相同，则则 这就是导体表面任一面元的受力公式。把该式沿着导体表面作积分便可得到整个导体所受的静电力。讨论：导体表面内外的总场强可看成两部分构成，和的矢量和。P1在导体表面外侧时，则；当P1在导体表面内侧时，而的连续性使仍成立，则；总场强在导体表面一点的突变完全是由含P的小面元的场强突变造成的三、有导体存在时静电场的分析与计算把导体放入静电场，就会因电荷的重新分布而使电场发生改变，直到达到静电平衡，导体上的电荷分布以及周围
13、的电场分布就不再改变了。这时的电荷和电场的分布可以根据静电场的基本规律、电荷守恒以及导体静电平衡条件加以分析和计算。书中的例题列出了典型的导体改变电场分布的情况。导体静电平衡问题的讨论方法中例1、例2、例3、例4、例5、以及平行板导体组例题1、22 静电屏蔽利用放入静电场中的导体会因电荷的重新分布而使电场发生改变这个事实，可以根据需要人为地选择导体的形状来改造电场。例如，用封闭金属壳把电学仪器罩住，就可以避免壳外电荷对仪器的影响，可以使壳外电荷在壳内空间激发的场强为零。一、空腔导体内外的静电场封闭导体壳就是空心导体，也叫做空腔导体。分为空腔内无带电体和有带电体两种情况进行讨论。1、空腔内空间无
14、带电体若空腔内空间没有带电体，则在静电平衡下，无论自身是否带电，空腔导体必定具有下列性质： 空腔内表面上不存在净电荷，净电荷只分布在外表面上。 空腔内无电场，空腔内电势处处相等。上述结论可做如下证明：在导体空腔内外表面之间取一高斯面，将导体空腔内表面包围起来，根据高斯定理因为高斯面完全处于导体内部，静电平衡下导体内部场强处处为零，所以这说明导体空腔内表面上电荷的代数和为零。但仍需排除空腔内表面上有些地方有正电荷，而另一些地方有负电荷，正负电荷代数和为零的情况。进一步用反证法说明：如果空腔内表面某处，而另一处，空腔内必定有电场线从处发出，并终止于处。由于空腔内无电荷，电场线不会在空腔内终止，而导
15、体内部场强处处为零，电场线也不能穿出导体。因此，由内表面正电荷发出的电场线将只能终止于内表面负电荷，电场沿这条电场线的线积分一定不为零，这条电场线的两端点之间有电势差。但它的两端点在同一导体上，静电平衡要求这两点电势相等。因此上述结论与静电平衡条件相违背，这说明静电平衡时导体空腔内表面上必须处处为零，空腔内各点的场强等于零，空腔内电势处处相等。在空腔外面的空间总有电场存在，其电场分布由空腔外表面上的电荷分布及导体外其他带电体的电荷分布共同决定。总之，当导体空腔处在外电场中时，空腔导体外的带电体只会影响空腔导体外表面上的电荷分布并改变导体外的电场分布，而且这些电荷的重新分布的结果，最终导致导体内
16、部及空腔内的总场强等于零。2、空腔内空间有带电体如果空腔内部存在电量为的带电体，利用高斯定理可以证明，在空腔内、外表面必将分别产生和的电荷。外表面的电荷将会在空腔外部空间产生电场。而腔内出现由带电体及腔内表面上的电荷分布所决定的电场，这个电场与导体外其他带电体的分布无关。即导体空腔外的电荷（包括导体外表面上的电荷）对导体空腔内的电场即电荷分布没有影响。这时，即使空腔导体外无其他带电体仍有电场存在，它事气馁的带电体通过腔外表面感应出等量同号的电荷所激发的，电场全由空腔导体外表面上的电荷分布所决定，与腔内情况无关。腔内带电体放置的位置，只会改变腔内表面上电荷的分布，绝对不会改变导体外表面上的电荷分布及腔
