《期望、方差协方差 (2).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《期望、方差协方差 (2).doc（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 随机变量的数字特征一、数学期望E（x)的性质： 性质一：常数C，E（C)=C; 性质二：X为随机变量，C为常数，则E(CX）=CE（X)； 性质三：X，Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)； 性质三：X,Y为相互独立的随机变量时，E（XY）=E（）（）二、 方差的性质：D(X)=E(X）-E(X) 性质一：C为常数，则D(C)=0； 性质二：X为随机变量，C为常数，则 D(CX)=CD(X) D(XC)=D(X) 性质三：X，Y为相互独立随机变量 （XY)=D(X)+D(Y) 当X，Y不相互独立时： D(XY）=D(X)+D(Y)2COV(X,Y);关于协方差COV（X+Y，X-
2、Y)=D(X)-D(Y)的证明？证：由COV（X，Y）=E（XY）-E(X)E(Y)得COV（，）E(X+Y)（X-Y)-E（X+Y)E(X-Y) =E（X2-Y2）-E(X)+E(Y)E(X)-E(Y) =E(X2)-E(Y2)-E(X)E(X)+E(Y)E(Y) =E(X2)-E(X)E(X)-E(Y2)-E(Y)(Y) =D(X)-D(Y)三、 常用函数期望与方差： （0-1）分布： 分布律：PX=K=pk(1-p)1-k,k=0,1,2.(0p=1,0p0) 数学期望： 方差： 均匀分布U（a,b): 分布律：f(X)=1/(b-a), ax0; f(X)=0, X0; 数学期望：1/
3、 方差：1/ 正态分布N（，） 分布律：f(x)=1/2 *)*e(-(x-)/(2), (-x0) 数学期望： 方差：四、 切比雪夫不等式： 随机变量的数学期望E(x)与方差D(x)存在，则对于任意整数，不等式： P|X-E(X)|D(X)/ 成立。等价于： P|X-E(X)|1-D(X)/推论：D(X)=0的充分必要条件是X以概率1取常数，即 PX=C=1 ，C为常数。其实，C=E(X)。五、 协方差Cov（X,Y） 性质一：Cov(X,Y)=Cov(Y,X); 性质二：Cov（aX,bY)=abCov(X,Y); 性质三：Cov（X1+X2，Y）=Cov（X1,Y）+Cov（X2,Y）； 性质四：X，Y相互独立，则Cov（X,Y）=0。 关于相关系数：若X,Y的协方差Cov（X,Y）存在，且D(X)0,D(Y)0,则 =Cov（X，Y）/(D(X) *D(Y)性质一：|1；性质二：|=1的充分必要条件，存在常数a,b使得 PY=aX+b=1 当X,Y相互独立时，Cov（X,Y）=0，若相关系数存在，则，X,Y不相关； 若X,Y不相关，则X,Y不一定相互独立。不相关是指X,Y不存在线性关系，但他们之间可以存在其他某种函数关系，比如：Y=X，因此，X,Y未必相互独立。
