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1、傅里叶级数(Fourier Series)引言正弦函数是一种常见而简单的周期函数，例如描述简谐振动的函数2兀就是一个以 为周期的函数。其中y表示动点的位置，t表示时间，A为振幅，为 角频率，为初相。但在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦的周期函数，它们反映了较复杂 的周期运动，我们也想将这些周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数 具体地说，将周期为T(=匹)的周期函数用一系列以T为周期的正弦函数An sin(net + Pn)组成的级数来表示，记为其中Ao, An，申n (n = 1,2,3,)都是常数。将周期函数按上述方式展开，它的物理意义就是把一个比较复杂的周期运动看
2、成是许多不同频率的简谐振动的叠加。在电工学上，这种展开称为谐波分析。其中常数项A0称为f (t)的直流分量；A1 sin(wt + p1)称为一次谐波(又叫做基波)；而A2 sin(2wt + %)，A3 sin(3et + P3) 依次称为二次谐波，三次谐波，等等。为了下面讨论方便起见，我们将正弦函数An sin(net + pn)按三角公式变形，得An sin(n + % )二 An sin % cos 讪 + An cos % sin 讪，令二0 = Ao, an An sin申n，bn An cos %,x，贝y上式等号右端的级数就可以改写 成 这个式子就称为周期函数的傅里叶级数。1.
3、 函数能展开成傅里叶级数的条件(1) 函数f (x)须为周期函数；(2) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；(如果x0是函数f (x)的间断点， 但左极限f (x0 - 0)及右极限f (x0 + 0)都存在，那么x0称为函数f (x)的第一类 间断点)3) 在一个周期内至多只有有限个极值点。若满足以上条件则f (X)能展开成傅里叶级数，且其傅里叶级数是收敛的，当X是 f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)，当X是f(X)的间断点时，级数收敛于12 f (x 一 ) + f (x+0)。、以上也是收敛定理(狄利克雷(Dirichlet)充分条件)的内容、2. 函数展开成傅里叶级数(1)
4、首先介绍一下三角函数系的正交性的概念：所谓三角函数 1，cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,cos nx, sin nx,在区间-兀,兀上正交，就是指在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间-兀,兀上的积分等于零，即_兀cosnxdx= sin nxdx = (n = 1,2,3 ),(n = 1,2,3 )，P sin kx cos nxdx = J兀 cos kx cos nxdx = sinkxsinnxdx=(k, n = 1,2,3 )，(k, n = 1,2,3 ,k 丰 n)，(k, n = 1,2,3 ,k 丰 n).2)傅里叶系数的推导设f (x)是
5、周期为2兀的周期函数，且满足收敛定理的条件，则函数f (x)的傅里叶级数记f (x) = a +(an cos nx + bn sin nx)n = 1那么傅里叶系数a,a,外,如何利用f (x)表达出来?先求a，对式从兀到兀逐项积分：根据三角函数系的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，则:从而得出其次求an，用cosnx乘式两端，再从-兀到兀逐项积分，可得(n 二 1,2,3 ).根据三角函数系的正交性，可以得出: n a 二 丄 J兀 f (x) cos nxdxn 兀一兀类似地，用sin nx乘式两端，再从-兀到兀逐项积分，可得根据三角函数系的正交性，可以得出: 由于当n二0时，
6、an的表达式正好给出a0，因此，已得结果可以合并写成1n a =Jf (x)cosnxdx(n = 0,1,2,3)，n 兀一兀1 .b = 一 Jf (x) sin nxdx(n = 1,2,3 )，n 兀一兀例：设f (x)是周期为2兀的周期函数，它在-兀,兀)上的表达式为将 f ( x) 展开成傅里叶级数。解所给函数满足收敛定理的条件，它在点x =加(k = 0,1,2,)处不连续，在其它点处连续，从而由收敛定理可知f (x)的傅里叶级数收敛，且当x二k时级数收敛于当x丰炽 时级数收敛于f (x)。计算傅里叶系数如下：=0(n = 0,1,2,3 )；将求得的傅里叶系数代入，得出f (x
7、)的傅里叶级数展开式为：(一 x +8 ； x 丰 0,土兀，土2兀,).3. 奇函数和偶函数的傅里叶级数定理：设f (x)是周期为2兀的函数，满足收敛定理的条件，则 当f(x)为奇函数时，它的傅里叶系数为 当f(x)为偶函数时，它的傅里叶系数为下面对这个定理加以证明(1)证 设f (x)为奇函数，即f (-x)二-f (x)。按傅里叶系数公式有:利用定积分换元法，在右边的第一个积分中以-x代替x ,然后对调积分的上下限同时 更换它的符号，得同理(2)证 设f(x)为偶函数，即f (-x) = f(x)。同(1)利用定积分换元法这个定理说明了 ：如果f (x)为奇函数，那么它的傅里叶级数是只含
8、有正弦项的正弦级数如果f (x)为偶函数，那么它的傅里叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数4. 傅里叶级数的复数形式傅里叶级数还可以用复数形式表示，在电子技术中，经常应用这种形式。设周期为2兀周期函数f (x)的傅里叶级数为(an cos nx + bn sin nx)n=1其中系数an,bn为丄兀一冗f (x)cos nxdx1P兀一冗f (x)sin nxdx(n = 0,1,2,),(n = 1,2,3,).利用欧拉公式eit + e -itcos t =sin t =eit - e -it2i_于是式化为an - ibn einx + an + ibn e-inx )2 2 则式就表示为inxn=g式即为傅里叶级数的复数形式。系数cn的计算根据式可得出c0= 2in f (x)dx二P f (x)e - inxdx(n = 1,2,3,)；2兀一兀将已得的结果合并为：c =卩 f (x)e 一 inxdx(n = 0,1,2,).n2n -兀式就为傅里叶系数的复数形式。傅里叶级数的两种形式，在本质上是一样的，但复数形式比较简洁，且在电子技术中经常用到这种形式。文档可能无法思考全面，请浏览后下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意!
