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1、欧氏几何教学之困与一线串通之策 赖 虎 强 邮箱： 前苏联数学家AA斯托利亚尔曾说：“几何教学问题仍然是中等数学教育现代化最复杂的问题之一。它引起了广泛的、世界性的争论，并且出现了许多的方案”。对于几何教改，张景中院士提出了“重建三角，全局皆活”的主张，倡导代数、三角与几何一线串通。这一几何教改方案的核心是重建正弦概念，将与正弦相关的高中三角形面积公式、正弦定理、余弦定理、正弦和角公式作为核心推理工具，以此构建初等数学知识。张景中新著一线串通的初等数学，即是这一思想的体现。本文从张景中教育数学的视角，试谈谈欧氏几何教改之策。一、“教育数学”关注几何教改1999年10月，国家数学课程标准研制工作
2、研讨会纪要提出几何教学的困境：“大量的教学实践表明，平面推理几何是一把“双刃剑”，一方面有大约20%30%的初中生因为学习平面推理几何，从此走上了数学和科学研究之路；另一方面，有不少学生在遭遇平面推理几何之后，丧失了对数学的学习兴趣，乃至失去了对学校教育的信心。”时至今日，这一困境并未根本好转。如何提高学生学习几何的“通过率”？不少专家开出的“处方”是：减少几何教学内容，弱化“证明”与“推理”。其实，这是一种遇到困难“绕道走”的方式，并未解决根本问题。如果我们将几何教改的目光只聚焦于几何内部，有路可走吗？欧氏几何历经两千多年，已有无数数学家对此进行过精心的审视，在内部显然已无较大的创新空间。几
3、何难学，问题出在何方？是学生智力不够？还是本身的系统设计有问题？在从数学教育到教育数学一书中，张景中精辟论述道：“学习一门课程，好比游览一个城市；课程的逻辑体系，就好比城市的交通系统。好的交通系统，应当有放射型的交通中心。交通中心应该四通八达，找到它，我们到哪儿都方便。而欧几里得的几何体系呢？它没有一个突出的中心，没有一个能让学生俯瞰全局的制高点。它的逻辑结构是串联式而不是放射型的。几何原本的每一节都很重要，任何一部分没学好，往前走的路就断了，这就是串联式的逻辑结构的特征欧几里得为我们留下一个美丽但相对封闭的花园。它拥有丰富的习题，但并不准备为姐妹课程代数提供复习、巩固、提高的用武之地。它更没
4、有暗示我们解析几何与高等数学即将出现。这一切确实令人遗憾。” 这一论述，已揭示问题的关键所在。欧氏几何，自身结构存在问题。传统几何教改，只局限于内部改革，缺少与代数、三角的联系与统一。几何原本的问世，标志着数学领域中公理化体系的诞生。欧几里得从23个概念，5条公设和5条公理出发，推导出了467条定理。沿着几何原本学习几何，对不少初学者来说，非常吃力，也非常枯燥。学好几何原本，意味着首先要理解23个概念，5条公设和5条公理。光靠砍掉几何定理的方法，推动数学教改，不是解决问题的根本办法。我们透过现象，可以找到几何难学的根本原因：起点过于繁琐，推理工具过于复杂。二、面积折扣释正弦传统的欧氏几何学习路
5、径，沿着“三线八角三角形内角和定理三角形四边形圆”。在不少人的观念中，这样的顺序不能颠倒。其实，这是一种误区。中国古典几何，以矩形面积公式为逻辑起点。用四边形认识三角形，与欧氏几何用三角形认识四边形刚好相反。小学面积公式的学习体系，为我们提供了用四边形认识三角形的范例。目前，初中代数中的整式乘法、因式分解、完全平方公式、平方差公式等，仍然以矩形面积公式（正方形面积公式）进行解释。初中的几何，能否继续沿用矩形面积公式这一路径呢？将平行四边形活动框架的边固定在木板上，以点为顶点，为一边，画一个量角器。当夹角是直角时，设矩形的高为，并将高十等分。利用四边形的不稳定性，我们观察到：夹直角时平行四边形面
6、积最大；以点为观察点，当夹角变为锐角，或钝角时，平行四边形的面积变小，可看作是矩形面积的折扣。 在数学上，科学计算器上的正弦键，可以帮助我们研究面积的折扣率。 例如：夹角等于的平行四边形面积的折扣率：；夹角等于的平行四边形面积的折扣率：；夹角等于的平行四边形面积的折扣率：；夹角等于的平行四边形面积的折扣率：；在张景中创设的教育数学新体系中，平行四边形面积新公式是教育数学的逻辑起点。从动态的角度，我们也可以这样理解平行四边形新面积公式。一不小心，矩形可以“挤压”成平行四边形，显然，面积减小了。若夹角等于，它的折扣率就是正弦。平行四边形面积公式（高中知识）：平行四边形的面积等于两边的长，乘以这两边
7、夹角的正弦。 用两个一样大的三角形，可以拼出一个四边形。根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理，我们可以判定以下三个四边形都是平行四边形。由平行四边形的面积新公式，我们可以用两边乘以其夹角的正弦表示其面积。显然，三角形的面积等于以下平行四边形面积的一半。由此，我们得：三角形面积新公式：三角形的面积等于两边及其夹角正弦的乘积的一半。三、张景中教育数学的逻辑中心三角形面积公式张景中指出：“在目前各种通用几何教材中，三角形面积公是一个微不足道的小角色。但当我们起用它之后，会发现这个小角色是那样重要它几乎担当起逻辑体系中心的重任。事实表明，平面几何的几乎全部信息，都浓缩在这个平凡的公
8、式里。值得注意的是，这个小小的公式不但是平面几何中逻辑推理的基础，同时也是直接参与解题的有力工具。”由三角形面积公式，得： 。或：。 由此，我们得到：三角形任意两边之比，等于它们的对角的正弦之比。其实，将面积公式两边同时除以，就可以得到以下定理：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即：即：。利用正弦定理，我们可以证明以下定理： 1、等腰三角形的两个底角相等. 2、等边三角形的三个内角都相等。 3、三个角都相等的三角形是等边三角形。 没有三角形全等相关知识，我们仍然可以得到这些定理。 在张景中教育数学中，正弦定理的作用远不止这些。它更主要的作用，是证明三角形全等判定定理AAS（
9、角角边），ASA（角边角），以及三角形相似的基本定理。对于任意三角形，正弦定理揭示了三边与三角的内在关系。自然地，正弦定理也适用于直角三角形。我们知道，直角的正弦等于1，即：。在直角中，时，正弦定理就是：。对比例式进行变形，得：； 。利用三角形的面积公式，我们也可得到这一结论。直角三角形的直角边与斜边，存在以下关系：直斜定理：直角三角形直角边的长，等于它的对角正弦，乘以斜边。，。 直斜定理脱胎于正弦定理，可以视为正弦定理的化简形式与特殊情形。它也有自身的特点：将比例形式化简为乘积形式，简明揭示了直角三角形一直角边及其对角、斜边三个量之间的关系。因此，我们熟悉了直斜定理之后，就没有必要再绕圈子,
10、退回到正弦定理去解题。查科学计算器，或正弦表，我们得到：重要结论： 由这一特殊角的正弦值与直斜定理，我们可以证明以下重要定理：1、在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于。2、在直角三角形中，如果有一个角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。将直斜定理由乘积式变为比例式，这就是初中三角中最核心的概念：传统课本锐角正弦的定义：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边。张景中先生将锐角余弦定义为：一个角的余弦的正弦，叫做这个角的余弦。有了余弦的定义，我们可以进一步得到余弦定理。五、张景中教育数学的核心主张英国著名数学家阿蒂亚说过，“数学的目的,就是用简单而基本的词
11、汇去尽可能地多解释世界”。“如果我们积累起来的经验要一代一代传下去,就必须不断努力把它们简化和统一”，“过去曾经使成年人困惑的问题,在以后的年代,连孩子们都容易理解”。多年来，张景中先生致力于把数学学习变得简单一点，倡导教育数学。教育数学为自己提出三个目标：逻辑结构尽可能简单；概念的引入要平易直观；要建立有力而通用的解题工具。 具体来说，教育数学有以下主张：1、从三角入手，代数、几何与三角一线串通初中代数的核心符号是，几何的核心符号是，三角的核心符号是。中国古代数学家，是从进入数学的城市中心。古希腊数学家，是从进入数学的城市中心。受此影响，初中数学教材的顶层设计是三角形相似。 张景中教育数学主
12、张：由正弦进入数学的城市中心。在中学数学课程中，三角的内容至关重要。三角是联系几何与代数的一座桥梁，是沟通初等数学和高等数学的一条通道。函数、向量、坐标、复数等许多重要的数学知识与三角有关，大量的实际问题的解决要用到三角知识。所以，尽管三角学起来并不比几何容易，尽管几何学起来比三角有趣得多，国外国内的许多数学教育专家在考虑数学课程的改革方案时，总是想删去更多的几何内容，而对三角却谨慎从事，不肯轻举妄动。看来，再过若干年，三角在初等数学中的地位仍然难以动摇。著名以色列科普作家Eli Maor所著三角之美一书前言部分，即引用赫伯特一段论述：“在数学领域中，可能没有其他分支学科能像三角学一样始终占据
13、着中心位置”。2、从计算入手，实验、计算与推理一线串通古希腊几何原本与中国九章算术，影响数学两千年。几何原本重“推”，九章算术重“算”。初中代数、三角侧重于算，初中几何侧重于推。 数学的发展，建立在算的基础之上。古希腊人花了约三百年的时间（从公元前600300年），才将经验式的几何精炼成演绎式的几何。古希腊推理几何，建立在古埃及测量几何之上。中国古代数学家侧重计算几何的研究，即面积计算、开平方、勾股定理（已知两边求第三边）等。几何起源于测量，基于计算的需要，推理是其发展的高级阶段。欧氏几何难学，问题出在：只重推，忽视算。其实，计算和推理是相通的。对于两者关系，张景中精辟论述到：“数学活动中的画
14、图和推理,归根结底都是计算。推理是抽象的计算,计算是具体的推理,图形是推理和计算直观的模型。”从算入手，寓理于算，在计算的基础上重视学生的推理能力的培养，符合学生的认知规律。几何还应重视数学实验。画一画、量一量、算一算、做一做、摆一摆，我们将抽象建立在直观的基础上，可以增强几何学习的兴趣。随着时代的变迁，几何实验已从粗糙走向精致。张景中研发的超级画板，功能强大。超级画板可以实现角度、长度与面积的测量，可以实验图形的拖动、平移与旋转等，是我们几何教学的好帮手。3、从小学数学知识出发，小学、初中、高中数学一线串通在传统数学教学中，小学、初中与高中数学知识，缺少整体的内在联系与统一。张景中特别指出：“要讲一个新东西，先要仔细分析一下学生在学习新知识之前，他掌握了哪些东西，一定要从他掌握的东西出发，加进最少的新东西让他进入一个新的领域。”在传统数学中，对于任意角的三角函数的定义，要依赖平面直角坐标系。初中只讲锐角的正弦，直角与钝角的正弦，要
