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1、第三讲 组合问题知识要点 一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关。如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合，例如ab与ba是两个不同的排列，但它们却是同一个组合。 从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，例如，从8个不同元素中取出5个元素的组合数表示为，从7个不同元素中取出6个元素的组合数表示为。 一般地，求从n个不同元素
2、中取出m个元素的排列数，可分为以下2步： 第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数； 第2步，求每个组合中m个元素的全排列数。 根据分步计数原理，得到：， 因此： 这里，并且，这个公式叫做组合数公式。 例如，。 因为， 所以，上面的组合数公式还可以写成 典型例题例1 计算：（1） （2）例2 （1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？ （2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？例3 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球。 （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ （2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ （3）
3、从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？例4 在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件 （1）一共有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？练习题 1证明 2从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？ 3写出：（1）从5个元素中任取2个元素的所有组合； （2）从5个元素中任取3个元素的所有组合。 4已知平面内这4个点中任何3个点都不在一条直线上写出由其中每3个点为顶点的所有三角形。 5任意掷一枚均匀的小立
4、方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），“4”朝上的概率是 。 6某电视台综艺节目接到热线电话3000个，现要从中抽取“幸运观众”10名，张华同学打通了一次热线电话，那么他成为“幸运观众”的概率为 。 7从1，2，3，4，5，6，7，8中任取两个数，这两个数（1）积恰好等于24的概率是 ；（2）和恰好等于9的概率是 。 8从1，2，3，500这500个自然数中，任意取出一个自然数，那么这个数能被7整除的概率是 ，这个数能被2整除又能被3整除的概率是 。 9若对一枚均匀的硬币连续地抛掷3次，则出现结果均为反面的概率是 ，出现结果为一次正面、二次反面的概率是 。 10（1）空间
5、有8个点，其中任何4点不共面，过每3个点作一个平面，一共可以作多少个平面？ （2）空间有10个点，其中任何4点不共面，以每4个点为顶点作一个四面体，一共可以作多少个四面体？ 11在200件产品中，有2件次品，从中任取5件： （1）“其中恰有2件次品”的抽法有多少种？ （2）“其中恰有1件次品”的抽法有多少种？ （3）“其中没有次品”的抽法有多少种？ （4）“其中至少有1件次品”的抽法有多少种？ 12圆上有10个点： （1）过每2个点画一条弦，一共可画多少条弦？ （2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画多少个圆内接三角形？ 13在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在
6、第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法？ 14在50件产品中，有46件合格产品，4件不合格产品，从中任取2件，求（1）2件都是不合格品的概率；（2）1件是合格品，1件是不合格品的概率。 15从数字1，2，3，4，5中任取2个数组成没有重复数字的两位数，则这个两位数大于50的概率是多少？ 16用计算机随机产生一个有序二元数组，满足，对每个有序二元数组，用计算机计算的值，记A为事件，试求事件A发生的概率。 小课堂没有不能解决的问题 1540年，韦达出生于法国普瓦图(Poitou)地区丰特奈勒孔特。 1560年，普瓦捷大学毕业后成为律师，后任过巴黎行政法
7、院审查官，皇 家私人律师和最高法院律师。1579年，著作应用三角形的数学定律给出精确到5位和10位小数的6种三角函数表及造表方法，发现正切定律、和差化积等三角公式，给出球面三角形的完整公式及记忆法则。1591年出版了最早的符号代数名著分析方法入门，对代数学加以系统的整理，并第一次自觉地使用字母来表示未知数和已知数，还使用它们当做一般系数。他用B、C、D等辅音字母表示已知量，用A、E、I等元音字母表示未知量，把现在的式子a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3写成：使代数学的形式更抽象，应用更广泛。用代数方法解几何问题的想法，给笛卡儿很大的启发。1593年，韦达效法阿基米得，以外切和内接多边形计算出圆周率的下限和上限为 3.1415926535 和 3.1415926536 。为了计算圆周率的上下限，他将两个六边形的边数倍增十六次，计算出两个 393, 216 边形的周长，韦达的圆周率精确到十个小数字，是有史以来最准确的圆周率值。但他还有项更杰出的成就-以无穷乘积叙述圆周率，他把成无限个因式的乘积的形式：这是第一个计算值的解析式。1603年2月23日卒于巴黎。 1615年出版截角术，给出sinnx和cosnx的展开式；论方程的识别与订正，改进了三、四次方程的解法，给出三次方程不可约情形的一个三角学的解法，记载了著名的韦达定理（方程根与系数的关系式）。 孩子的未来 我们的一切
