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1、学习数学 领悟数学 秒杀数学 第四章 圆锥曲线专题8 双曲线的仿射与旋转第一讲 双曲线仿射为等轴双曲线【例1】（2014湖南）如图，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，已知，且（1）求、的方程；（2）过作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于，两点时，求四边形面积的最小值 【解析】（1）由题意可知，且，且，且解得：椭圆的方程为，双曲线的方程为；（2）由（1）可得直线AB不垂直于轴，如图，故作仿射变换，即,根据几何意义，,故当取最大值，即时，取最小值，此时也取到最小值，另解：化极坐标，秒杀秘籍：第二讲 双曲线仿射后旋转45形成反比例函数设如图，将等
2、轴双曲线逆时针旋转，即变成了初中的反比例函数，将拥有以下性质： （参考例题）若与双曲线相切，则切点为中点，；证明：设，由得：故;当与双曲线相切时，重合，则，【例2】（2014福建）已知双曲线的两条渐近线分别为，（1）求双曲线的离心率；（2）如图，点为坐标原点，动直线分别交直线，于，两点，分别在第一、第四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程，若不存在，说明理由【解析】（1）因为双曲线的渐近线分别为，所以所以故，从而双曲线的离心率（2） 由（1）知，双曲线E的方程为作，再将双曲线沿逆时针旋转得：；设与双曲线切于点，则，故方程为，通过仿
3、射变换回去可知，双曲线方程为【例3】如图所示， 直线与双曲线的渐近线交于，两点， 记，任取双曲线上的点，若，则、满足的一个等式是 【解析】，, ， 设在轴的射影为,则【例4】（2010重庆）已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率（1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点,的直线与过点，（其中的直线的交点在双曲线上，直线与两条渐近线分别交与G、H两点，求的面积【解析】（1）设的标准方程为，则由题意知，的标准方程为的渐近线方程为，即和 （2）由题意知，作，再将双曲线沿逆时针旋转得：；如图，点在直线和上，故点在圆上，为过点的切线，点在上，因此直线的方程为反比例函数的逆仿射：需要
4、逆反射成双曲线，这里往往涉及一个中点弦问题【例5】（2017武汉调考）在平面直角坐标系中，设是曲线上三个不同的点，且分别为的中点，则过三点的圆一定经过定点 【解析】将向左移一个单位得，将其顺时针旋转得,根据点差法易知故代入得，所以，四点共圆，则过三点的圆一定过点 例5图 例6图【例6】在平面直角坐标系中，已知双曲线的一个焦点为过双曲线上的一点作一条渐近线的平行线交另一条渐近线于点A，若的面积为，则其离心率为 【解析】如上图根据仿射原理可知：，又因为，故离心率 【例7】已知双曲线的方程为，点和点是双曲线的两条渐近线上的两个动点， 双曲线上的点P满足（其 中，） 求面积的取值范围【解析】作，再将双
5、曲线沿逆时针旋转得，设, ,故， ，根据基本不等式和对勾函数性质得，当时，的面积取得最小值，当时，的面积取得最大值面积的取值范围是达标训练1（2017芜湖期末）已知直线与双曲线的渐近线交于，两点，设为双曲线上任一点，若，为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）A BCD2.（2018衡阳三模）已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点， 且线段的中点在双曲线上， 则的面积为（ ）A BCD3.（2018成都模拟）已知双曲线右支上的一点，经过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于A，两点， 若点A，分别位于第一、四象限，为坐标原点， 当时，的面积为，则双曲线的实轴长为（ ）A BCD4.（20
6、10上海）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量任取双曲线上的点P，若、，则、满足的一个等式是 5.已知双曲线的右焦点为,为坐标原点，若存在直线过点交双曲线的右支于两点，使,则双曲线离心率的取值范围是 6.（2008上海）已知双曲线，为上的任意点（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点的坐标为，求的最小值 7.（2017湖北期中）已知，是双曲线的左右焦点，点，在双曲线上 （1）求双曲线的标准方程；（2）若直线与双曲线相切与于点，与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点， 当点在双曲线上运动时，的值是否为定值？若是，求出定
7、值；否则，请说明理由8.（2009陕西）已知双曲线的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为（1）求双曲线的方程；（2）P是双曲线上一点，两点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围9（2018上海模拟）已知等轴双曲线的两个焦点、在直线上， 线段的中点是坐标原点， 且双曲线经过点（1）若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线的方程：；请确定哪个是等轴双曲线的方程， 并求出此双曲线的实轴长；（2）现要在等轴双曲线上选一处P建一座码头， 向、两地转运货物 经测算， 从到、从到B修建公路的费用都是每单位长度万元， 则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？（3）如图，函数的图象也是双曲线， 请尝试研究此双曲线的性质， 你能得到哪些结论？ （本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分）1
