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1、 特性方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列的项满足，其中求这个数列的通项公式。采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，并且在猜想通项公式中容易出错,本文提出一种易于被学生掌握的解法特性方程法：针对问题中的递推关系式作出一种方程称之为特性方程;借助这个特性方程的根迅速求解通项公式下面以定理形式进行论述.定理1：设上述递推关系式的特性方程的根为,则当时，为常数列,即,其中是觉得公比的等比数列，即.证明:由于由特性方程得作换元则当时,，数列是觉得公比的等比数列,故当时，,为0数列，故(证毕）下面列举两例，阐明定理1的应用例1.已知数列满足：求解：作方程当时,数列
2、是觉得公比的等比数列.于是例2已知数列满足递推关系:其中为虚数单位。当取何值时，数列是常数数列?解:作方程则要使为常数,即则必须二、（二阶线性递推式)定理：对于由递推公式,给出的数列,方程,叫做数列的特性方程。若是特性方程的两个根，当时，数列的通项为，其中,B由决定（即把和，代入,得到有关A、的方程组）;当时,数列的通项为，其中A，由决定(即把和,代入,得到有关A、B的方程组)。例3：已知数列满足,求数列的通项公式。解法一(待定系数迭加法)由,得,且。则数列是觉得首项,为公比的等比数列,于是。把代入，得，,，。把以上各式相加，得。解法二(特性根法):数列：, 的特性方程是：。，。又由,于是故三
3、、(分式递推式)定理3:如果数列满足下列条件：已知的值且对于，均有(其中p、q、h均为常数,且）,那么，可作特性方程.(1）当特性方程有两个相似的根（称作特性根)时，若则若,则其中特别地,当存在使时,无穷数列不存在.(2)当特性方程有两个相异的根、(称作特性根）时，则，其中例、已知数列满足性质:对于且求的通项公式.解:依定理作特性方程变形得其根为故特性方程有两个相异的根,使用定理的第()部分，则有即例5.已知数列满足:对于均有(）若求(2)若求(）若求（4）当取哪些值时,无穷数列不存在?解:作特性方程变形得特性方程有两个相似的特性根依定理2的第（1）部分解答（）对于均有(2) 令,得故数列从第
4、项开始都不存在,当,时，.(3)令则对于()、显然当时，数列从第2项开始便不存在由本题的第（）小题的解答过程知,时，数列是存在的，当时，则有令则得且2.当（其中且2）时，数列从第项开始便不存在于是知:当在集合或且2上取值时,无穷数列都不存在练习题:求下列数列的通项公式：1、 在数列中，求。(key：）2、 在数列中，且，求。(ke:）3、 在数列中,求。（key:)4、 在数列中，,求。(ey：）5、 在数列中，,求。（ky：)6、 在数列中,且.求.(ky:时,；时,)7、 在数列中，（是非0常数).求.（ke： （）；）()、在数列中,给定,.求.（key:；若，上式不能应用，此时,附定理
5、3的证明定理(分式递推问题)：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，均有（其中p、q、r、h均为常数,且），那么，可作特性方程.（1）当特性方程有两个相似的根(称作特性根)时，若则若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.（2）当特性方程有两个相异的根、（称作特性根）时,则，其中证明：先证明定理的第(1)部分作互换则 是特性方程的根，将该式代入式得 将代入特性方程可整顿得这与已知条件矛盾故特性方程的根于是 当，即=时，由式得故当即时,由、两式可得此时可对式作如下变化: 由是方程的两个相似的根可以求得 将此式代入式得令则故数列是觉得公差的等差数列其中当时,当存在使时，无意义.故此时,无穷数列是不存在的再证明定理的第（2)部分如下:特性方程有两个相异的根、，其中必有一种特性根不等于，不妨令于是可作变换故，将代入再整顿得 由第(1)部分的证明过程知不是特性方程的根，故故因此由式可得: 特性方程有两个相异根、方程有两个相异根、，而方程与方程又是同解方程将上两式代入式得当即时，数列是等比数列，公比为.此时对于均有当即时，上式也成立.由且可知因此（证毕）注:当时，会退化为常数;当时，可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.
