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1、（江西卷）如图，椭圆的右焦点为，过点的一动直线绕点转动，并且交椭圆于两点，为线段的中点（1）求点的轨迹的方程；（2）若在的方程中，令，设轨迹的最高点和最低点分别为和当tan为何值时，为一个正三角形？解：如图，（1）设椭圆Q：（ab0）上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则1当AB不垂直x轴时，x1x2，由（1）（2）得b2（x1x2）2xa2（y1y2）2y0b2x2a2y2b2cx0（3）2当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）故所求点P的轨迹方程为：b2x2a2y2b2cx0（2）因为轨迹H的方程可化为：M（，），N（ ，），F（c，0），使MN
2、F为一个正三角形时，则tan，即a23b2. 由于，则1cosqsinq3 sinq，得tanq全国卷I）设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。解: 依题意可设P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|=,又因为Q在椭圆上,所以,x2=a2(1y2) , |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2 =(1a2)(y )2+1+a2 .因为|y|1,a1, 若a, 则|1, 当y=时, |PQ|取最大值;若1a,则当y=1时, |PQ|取最大值2.(本小题满分14分)已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.()求椭圆C的
3、方程;()设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值.解：（）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为（）设，（1）当轴时，（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为由已知，得把代入椭圆方程，整理得，当且仅当，即时等号成立当时，综上所述当最大时，面积取最大值（2009北京文）（本小题共14分）21世纪教育网 已知双曲线的离心率为，右准线方程为。（）求双曲线C的方程；（）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值. 【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运
4、算能力（）由题意，得，解得， ，所求双曲线的方程为.（）设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为， 由得（判别式）, ,点在圆上，.（2009宁夏海南卷文）(本小题满分12分)已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1（I） 求椭圆的方程（II） 若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。（20）解：（）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得 解得a=4,c=3, 21世纪教育网 所以椭圆C的方程为 （）设M（x,y）,P(x,),其中由已知得而故 由点P在椭圆C上得 代入式并化简得所
5、以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段. （2009全国卷文）（本小题满分12分）已知椭圆C: 的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B 两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（）求a,b的值；（）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。解：（）设 当的斜率为1时，其方程为到的距离为 故 ， 21世纪教育网 由 得
6、，=（）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。由 （）知C的方程为+=6. 设 () C 成立的充要条件是， 且整理得 故 将 21世纪教育网 于是 , =, 代入解得，此时 于是=， 即 21世纪教育网 因此， 当时， ； 当时， 。（）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。综上，C上存在点使成立，此时的方程为.11陕西（本小题满分12分）设椭圆C: 过点（0，4），离心率为（）求C的方程；（）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标。解（）将（0，4）代入C的方程得 b=4又 得即， a=5C的方程为（）过点且斜率为的直线方程为，设直线与的交点为，将直线方程代入的方程
7、，得，即，解得， AB的中点坐标，即中点为。注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。11天津（本小题满分13分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2。点满足 （）求椭圆的离心率； （）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆相交于M，N两点，且，求椭圆的方程。本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分13分。 （）解：设，因为，所以，整理得（舍）或 （）解：由（）知，可得椭圆方程为，直线FF2的方程为A，B两点的坐标满足方程
8、组消去并整理，得。解得，得方程组的解不妨设，所以于是圆心到直线PF2的距离因为，所以整理得，得（舍），或所以椭圆方程为11（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足（）证明：点P在C上； （II）设点P关于O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上。解：（I）F（0，1），的方程为，代入并化简得2分设则由题意得所以点P的坐标为经验证，点P的坐标为满足方程故点P在椭圆C上。6分 （II）由和题设知， PQ的垂直一部分线的方程为设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线为的方程为由、得的交点为。9分故|NP|=|NA|。又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上12分
