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1、附件2：扬州市高中优秀学业质量监测专题资源包评审申 报 材 料专题名称 矩阵与变换 所属学科 数学 作者姓名 王春扬 工作单位 扬州市第一中学联系电话 15952798606 申报时间 20114 扬州市教育局二一一年三月制【监测目标】 优秀水平：1了解矩阵的有关概念；理解二阶矩阵与平面列向量的乘法。2理解矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线，即 A(1+2)1A+2A ，了解几种常见的平面变换：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换；了解单位矩阵。3理解二阶矩阵的乘法；理解矩阵乘法的简单性质（不满足交换律、满足结合律、不满足消去律）。4理解逆矩阵的意义；理解二阶矩阵存在逆
2、矩阵的条件；理解逆矩阵的唯一性和 (AB)-1B-1A-1 等简单性质，并了解其在变换中的意义；会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵；了解二阶行列式的定义；会用二阶行列式求逆矩阵；了解用变换与映射的观点解二元线性方程组的意义；会用系数矩阵的逆矩阵解二元线性方程组。了解用系数矩阵来判定二元线性方程组解的存在性、唯一性的方法。5理解二阶矩阵特征值与特征向量的意义；会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）；会用二阶矩阵的特征值、特征向量解决简单的问题；理解矩阵的简单应用。良好水平：1了解矩阵的有关概念；理解二阶矩阵与平面列向量的乘法。2理解矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线
3、，即A(1+2)1A+2A，了解几种常见的平面变换：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换；了解单位矩阵。3理解二阶矩阵的乘法；理解矩阵乘法的简单性质（不满足交换律、满足结合律、不满足消去律）。4理解逆矩阵的意义；理解二阶矩阵存在逆矩阵的条件；会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵；会用系数矩阵的逆矩阵解二元线性方程组。5理解二阶矩阵特征值与特征向量的意义；会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）；会用二阶矩阵的特征值、特征向量解决简单的问题；理解矩阵的简单应用。合格水平：1了解矩阵的有关概念；理解二阶矩阵与平面列向量的乘法。2理解矩阵对应的变换把平面
4、上的直线变成直线； 了解几种常见的平面变换：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换；了解单位矩阵。3理解二阶矩阵的乘法；理解矩阵乘法的简单性质（不满足交换律、满足结合律、不满足消去律）。4理解逆矩阵的意义； 会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵。5理解二阶矩阵特征值与特征向量的意义；会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。【监测内容】监测重点：通过几何图形变换，学习二阶矩阵的基本概念、性质和思想。监测难点：切变变换，逆变换(矩阵)，特征值与特征向量。主要数学思想：（1）几何变换；（2）代数运算；（3）数形结合的思想；（4）算法思想。知识结构：主要内
5、容：1. 二阶矩阵的乘法:一般地，=,表示几何意义是什么？2几种常见的平面变换 (1) 恒等变换阵（即单位矩阵）： (2) 伸压变换: (3) 反射变换： （4）旋转变换：（5）投影变换： （6）切变换：3逆矩阵常见的方法：E（1）用待定系数法求逆矩阵：设是一个二阶可逆矩阵，E；（2）公式法：，记为：detA，有，当且仅当detA=0；（3）从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵； （4）(AB)1B1A1 。4利用逆矩阵解方程组 可以表示成=，简写成,5求特征向量和特征值的步骤：（1）；（2）解；（3）取或者，写出相应的向量；6如何求的步骤： （1）求，即M的特征值和特征向量；（2）用特征
6、向量，线性表示向量，即是常数，但一般不是；（3）代入=,因为，=，依此，=；例1求矩阵M= 的特征值和特征向量解：M= 有两个特征值1=4，2=-2，属于1=4的一个特征向量为，属于2=-2的一个特征向量为。例2已知M=，试计算解：【监测工具】【诊断性测试题】1设矩阵A为二阶矩阵，且规定其元素，则A= 答案： 解析：分别表示元素所在的行与列。2已知A(3,1),B(5,2)，则表示的列向量为 答案： 解析：，所求列向量为3设A=，则A6= 答案：解析：A=，A6=4计算，并解释计算结果的几何意义答案：。它表示点（1，2）在矩阵的作用下变成了点（5，8）。5将双曲线C：上点绕原点逆时针旋转45，
7、得到新图形，试求的方程答案：由题意，得旋转变换矩阵M=，任意选取双曲线上的一点，它在变换TM作用下变为，则有M=，故，又因为点P在曲线上，所以，即有。所求的方程为。6研究直线在矩阵对应的变换作用下变成什么图形，并说明其几何意义答案：任取直线的一点，它在矩阵对应的变换作用下变为，则有，故即又因为点P在直线上，所以即有从而直线在矩阵作用下变成直线。其几何意义是：把直线上的每一点沿垂直于直线的方向投影到该直线上。7设A=，则 答案：解析：A对应的变换是绕原点逆时针旋转30的旋转变换，其逆变换为绕原点顺时针旋转308已知二阶矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A解
8、：设A=，由题知=，=3 即，解之得： A= 【形成性测试题】1设A=，B=，则= 答案：。解析：，又BA=2矩阵A=的特征多项式为 答案：。解析：。3矩阵M=的所有特征向量为 。答案：k和k。解析：已知，对应的特征向量为和，故所有的特征向量为：k和k。4在平面直角坐标系中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程解：设是椭圆上任意一点，点在矩阵对应的变换下变为点 则有 ，即，所以 又因为点在椭圆上，故，从而所以，曲线的方程是 5 试讨论下列矩阵 将点（2，1）变成了什么图形？画图并指出该变换是什么变XO第5题图 A（2，5）A（2，1）换？ 解： =即点（，）经过变化后变为A（2，
9、5）。该变换为沿Y轴正向的切换。变换图形如右图。6已知ABC，A(1，0)，B(3，0)，C(2，1)，对它先作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90（1）分别求两次变换所对应的矩阵M1，M2；（2）求点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标解：（1）M1，M2；（2）因为MM2 M1 ，所以M 故点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标是(1，2)说明 考查常见的平面变换及二阶矩阵与平面向量的乘法、矩阵的乘法，并且理解连续两次变换所对应二阶矩阵相乘的顺序熟记几种常见变换，对应点间坐标关系。7二阶矩阵M对应的变换将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2)（1
10、）求矩阵M；（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：xy4，求l的方程解：（1）M=（2） x+y+2=0说明：考查利用二阶矩阵与平面向量乘法的知识求二阶矩阵的方法；考查求一条曲线经过二阶矩阵变换后的曲线方程的方法8如图矩形在变换的作用下变成了平行四边形，求变换所对应的矩阵解法一：（1）由矩形变换成平行四边形可以看成先将矩形绕着点旋转，得到矩形，然后再将矩形作切变变换得到平行四边形。故旋转变换矩阵为： 切变变换：，切变变换矩阵为 矩阵， 解法二：（1）设矩阵，则点，故：，即： 解得：，。 9给定矩阵M= ，N ，向量=，=（1）证明M和N互为逆矩阵；（2）证明和都是M的特征向量解析：（1）因
11、为MN= = ，NM= = ，所以M和N互为逆矩阵 （2）向量=在M的作用下，其像与其保持共线，即 =，向量=在M的作用下，其像与其保持共线，即 =，所以和是M的特征向量10用矩阵方法求二元一次方程组的解答案：已知方程组可以写为： =令M= 其行列式 =31-3（-2）=90M-1 = = = M-1= = 小结： 可以表示成=，简写成,11.求矩阵M= 的特征值和特征向量答案：矩阵M的特征值满足方程 =(+1) (-3)-(-)(-2)= 2-2-8=0解得，矩阵M的两个特征值1=4，2=-2（1）设属于特征值1=4的特征向量为，则它满足方程：(1+1)x+(-2)y=0 即：（4+1）x+
12、(-2)y=0 也就是 5 x-2y=0 则可取为属于特征值1=4的一个特征向量（2）设属于特征值1=-2的特征向量为，则它满足方程：(2+1)x+(-2)y=0 即：（-2+1）x+(-2)y=0 也就是 x+2y=0 则可取为属于特征值2=-2的一个特征向量综上所述：M= 有两个特征值1=4，2=-2，属于1=4的一个特征向量为，属于2=-2的一个特征向量为。12已知M=，试计算答案：矩阵M的特征多次式为，对应的特征向量分别为和，而，所以13设矩阵M的特征值为1=3，2=1，其对应的一个特征向量分别为，若，试求M20解 设，解得，所以M20= M20=4（M20）3（M20）=4（120）
13、3（220）=说明：考查矩阵的特征值与特征向量的应用【终结性测试题】1已知矩阵，若，则符合条件的的值分别为 解析：由矩阵相等的定义，列出方程组解之得或2曲线作作用下变换的结果是曲线 解析：由，即，显然实施的是关于直线的对称变换，曲线关于直线对称的曲线是3若，则= 解析：的逆矩阵，4矩阵的特征向量是 解析：矩阵变换的几何意义是保持横坐标不变，纵坐标依横坐标的2倍增加的切变变换，显然，在此变换中，只有与轴平行的向量保持变换前后不变，因此矩阵的特征向量是5（1）计算下列各式，并从变换角度说明其几何意义。； （2）试从几何变换的角度求的逆矩阵。，；点拨：（1）矩阵变换的特点可以通过分析变换前后的点（向量）的坐标得到，而掌握基本的矩阵变换及其相应的矩阵形式，就可以快速解决此类问题；（2）从几何角度研究矩阵的变换作用，通过求其逆变换写出它们的逆矩阵解答：（1），显然变换前后的点的横坐标不变，纵坐标
