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1、信号与系统实验报告 实验三 连续时间傅立叶级数3.1 连续时间傅立叶级数的性质1.满足的最小周期T是多少？利用这个值，用定义求的CTFS系数。x=sym(cos(w*t)+sin(2*w*t);x1=subs(x,2*pi,w);ezplot(x1,-1:1);grid; 由图像可知其周期为1clc;x=sym(cos(w*t)+sin(2*w*t);x1=subs(x,2*pi,w);syms t;n=-6:6Fn=int(x1*exp(-i*n*2*pi*t),0,1);F=abs(Fn);F=double(F);stem(n,F); 2.考虑信号，利用CTFS的时间倒置和共轭性质求的CT
2、FS系数。clc;syms t;x=sym(cos(2*pi*t)+sin(2*2*pi*t);x1=subs(x,-t,t);y=x+x1;n=-6:6;Fn=int(y*exp(-1i*n*2*pi*t),0,1);F=abs(Fn);F=double(F);stem(n,F); 3.在上画出信号。能预计出什么样的对称性？能够利用CTFS的对称性说明它吗？clc;syms t;x=sym(cos(2*pi*t)+sin(2*2*pi*t);x1=subs(x,-t,t);y=x+x1;ezplot(y,-1:1);可见关于x=0对称，为偶函数且为奇斜函数，CTFS系数只有基波项。4考虑信号
3、。利用CTFS的时间倒置和共轭性质求的CTFS系数。clc;x=sym(cos(w*t)+sin(2*w*t);x1=subs(x,2*pi,w);z=x1-conj(x1);syms t;n=-6:6;Fn=int(z*exp(-1i*n*2*pi*t),0,1);F=abs(Fn);F=double(F);stem(n,F); 3.2 连续时间傅立叶级数中的能量关系1求信号的CTFS表示。提示：利用CTFS性质，并根据周期为T的对称方波 具有CTFS系数为 的知识。syms t;k=-50:50;ak=sin(k+eps)*pi/2)./(k+eps)*pi);Fy=ak.*(1-exp(
4、-1i*(k+eps)*pi);figure(1);stem(k,abs(Fy);f=Fy.*exp(1i.*(k+eps)*pi*t);y=simple(sum(f);figure(2);ezplot(t,y);2.一个周期信号的基波分量的能量可以定义为，其中是该信号的CTFS。试计算输出和输入中的基波分量的能量，能量有增益或损失吗？能说明能量变化的原因吗？syms t;x=sym(cos(pi*t);Fx11=(1/2)*int(x*exp(-1i*pi*t),0,2);Fx12=(1/2)*int(x*exp(1i*pi*t),0,2);ex=abs(Fx11)2+abs(Fx12)2;
5、 Fy11=abs(sin(1)*pi/2)./(1)*pi)*(1-exp(-1i*(1)*pi);Fy12=abs(sin(1)*pi/2)./(1)*pi)*(1-exp(-1i*(1)*pi);ey=(Fy11)2+(Fy12)2;3.利用帕斯瓦尔定理求该信号一个周期内的总能量，利用前100个频率，即近似这个和式，这个和式收敛到何值？k=-100:100;ak=sin(k+eps)*pi/2)./(k+eps)*pi);Fy=ak.*(1-exp(-1i*(k+eps)*pi);Fy=abs(Fy);ey=2*(sum(Fy.2);收敛到24为了观察该能量估计值收敛得有多快，试画出该信
6、号能量估计值作为在和式中所用项数个数的函数图。 k=-50:50;ak=sin(k+eps)*pi/2)./(k+eps)*pi);Fy=ak.*(1-exp(-1i*(k+eps)*pi);Fy=abs(Fy);ey=(cumsum(Fy.2);stem(k,ey);5利用该信号能量的解析式求下面和式的闭式表达式： 提示：利用帕斯瓦尔定理将总能量的时域和频域表达式联系起来。k=-50:50; syms t;ak=1./(2.*k+1).2; ft=ak.*exp(1i.*k*pi*t); f=sum(ft); ezplot(t,f)3.3 用傅立叶级数综合连续时间信号 对于这些习题要用少数几
7、个非零的傅立叶级数系数构造周期信号的符号表达式。3个信号的基波周期和非零的CTFS系数给出如下：对每一信号创建连续时间信号的符号表达式，并用ezplot画出信号的两个周期。syms t;x1=(5*(exp(1i*2*pi*t)+exp(-1i*2*pi*t)+2*(exp(1i*6*pi*t)+exp(-1i*6*pi*t);x2=(1i*(exp(1i*pi*t)-exp(-1i*pi*t)-1/2*1i*(exp(1i*2*pi*t)-exp(-1i*2*pi*t)+1/4*1i*(exp(1i*3*pi*t)-exp(-1i*3*pi*t)-1/8*1i*(exp(1i*4*pi*t)
8、-exp(-1i*4*pi*t);x3=(1i*(exp(1i*1/2*pi*t)-exp(-1i*1/2*pi*t)+1/2*1i*(exp(1i*pi*t)-exp(-1i*pi*t)+1/4*1i*(exp(1i*3/2*pi*t)-exp(-1i*3/2*pi*t)+1/8*1i*(exp(1i*2*pi*t)-exp(-1i*2*pi*t);figure(1);ezplot(t,sym(x1)axis(0,2,-10,10)figure(2);ezplot(t,sym(x2)axis(0,4,-5,5)figure(3);ezplot(t,sym(x3)axis(0,8,-5,5)若
9、已知的图，如何能由两个信号的傅立叶级数系数预计的图？如何本来就能根据傅立叶系数预计出3个信号中每一个都应该是实信号？答：压缩平移。由共轭对称性可知X(t)*=X(t)，X(t)即为实信号。定义 并考虑具有下面基波周期T和傅立叶级数系数的信号：4 5对每一信号K1，3和9。对每个K值，创建对的符号表达式，并用ezplot画出各信号的两个周期。如果信号为复数，要单独分开画出它们的实部和虚部。当K=1时syms t k=-1:1; ak1=1./(k.2+1)x1=ak1.*(exp(i*2*pi/5.*k*t)subplot(2,2,1)ezplot(sum(x1),-5,5)ak2=sign(k
10、)./(-2).sqrt(k.*k)x2=ak2.*(exp(i*pi/10.*k*t)subplot(2,2,2)ezplot(t,sum(x2),-20,20)ak3=1./2.sqrt(k+2).2)x3=ak3.*(exp(i*2*pi/5.*k*t)subplot(2,2,3)ezplot(t,sum(x3),-5,5)当K=3时：syms tk=-3:3;ak1=1./(k.2+1)x1=ak1.*(exp(i*2*pi/5.*k*t)subplot(2,2,1)ezplot(sum(x1),-5,5)ak2=sign(k)./(-2).sqrt(k.*k)x2=ak2.*(exp
11、(i*pi/10.*k*t)subplot(2,2,2)ezplot(t,sum(x2),-20,20)ak3=1./2.sqrt(k+2).2)x3=ak3.*(exp(i*2*pi/5.*k*t)subplot(2,2,3)ezplot(t,sum(x3),-5,5)当K=9时：syms tk=-9:9;ak1=1./(k.2+1);x1=ak1.*(exp(1i*2*pi/5.*k*t);subplot(221)ezplot(sum(x1),-5,5)ak2=sign(k)./(-2).sqrt(k.*k);x2=ak2.*(exp(1i*pi/10.*k*t);subplot(2,2,
12、2)ezplot(t,sum(x2),-20,20)ak3=1./2.sqrt(k+2).2);x3=ak3.*(exp(1i*2*pi/5.*k*t);subplot(2,2,3)ezplot(t,sum(x3),-5,5)6.怎样本就能由傅立叶级数系数预计到哪个信号应该是实信号？ 答：若傅立叶级数系数的离散图像关于纵轴对称 则其为实信号。3.4方波和三角波的傅立叶表示1.利用int创建一个符号表达式a，它包含了该方波每个k值的傅立叶级数系数。这个符号表达式是k的函数。利用stem画出内的傅立叶级数的系数。k=-10:10;a=1/2*int(exp(-1i.*k*pi*t),t,-0.5,
13、0.5);stem(k,a);2.对N=1，3，5和9，对创建符号表达式。利用ezplot画出区间内的，用hold将4张图画在同一幅图上。syms t;k=-1:1;ak=1/2*int(exp(-1i.*k*pi*t),t,-0.5,0.5);a1=ak.*exp(1i.*k*pi*t);hold on;ezplot(sum(a1),-1,1)k=-3:3;ak=1/2*int(exp(-1i.*k*pi*t),t,-0.5,0.5);a3=ak.*exp(1i.*k*pi*t);ezplot(sum(a3),-1,1)k=-5:5;ak=1/2*int(exp(-1i.*k*pi*t),t,-0.5,0.5);a5=ak.*exp(1i.*k*pi*t);ezplot(sum(a5),-1,1)k=-9:9;ak=1/2*int(exp(-1i.*k*pi*t),t,-0.5,0.5);a9=ak.*exp(1i.*k*pi*t);ezplot(sum(a9),-1,1);hold off;3.在时，的值是多少？这个值随N增加而变化吗？答：在时，的值是0.5，不随N增加而改变。4.不用明确地求出，对每个N值估计一下超量误差值。这个超量误差随N增加而减小吗？随，如何预期这个值的变化？答：这个超量误差随N增加而减小，当时，误差0.
