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1、高三第二轮专题训练立体几何(1)基础知识部分高三第二轮专题训练立体几何(1)基础知识部分 2009年4月8日星期三【基础知识】一、空间几何体的结构特征多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体叫做多面体. 把一个多边体的任意一个平面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体叫做凸多面体.1.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱.如何判断一个多面体是否为棱柱？看面：一看是否有两个面互相平行，二看其余各面是否为平行四边形；看线：看每相邻两个四边形的公共边是否平行.侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱；侧棱垂直于底面
2、的棱柱叫直棱柱；底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱.(1).棱柱的侧面积、体积:直棱柱侧面积：S=Ch (C为底面周长，h是高). 该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.斜棱住侧面积：S=C1l (C1是斜棱柱直截面周长，l是斜棱柱的侧棱长).该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.棱柱的体积: V =SH (S为底面面积，h是高)注：四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体.长方体底面是正方形四棱柱平行六面体直平行六面体底面是平行四边形侧棱垂直底面底面是矩形直四棱柱平行六面体=直平行六面体.正四棱柱正方体侧面与底面边长相等(2).棱柱的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形
3、，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. ()(直棱柱不能保证底面是矩形可如图)(直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.(3)平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.注：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为，则cos2+ cos2+ cos2=1.推论二：长
4、方体一条对角线与同一个顶点的三个侧面所成的角为，则cos2+ cos2+ cos2=2.注：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.(）(斜四面体的两个平行的平面可以为矩形)各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱. (）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体. (）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. (两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件)2.棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.注：一个棱锥可以四各面都为直角三角形.一个棱柱可以分成等体积的三个三
5、棱锥；所以V棱柱=SH=3V棱锥.(1)正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.注：i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.(不是等边三角形）ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正侧棱与底棱不一定相等iii.正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形(即侧棱相等)；底面为正多边形.正棱锥的侧面积：（底面周长为C，斜高为h）棱锥的侧面积与底面积的射影公式：(侧面与底面成的二面角为)albc附：以知cl，cosa=b，为二面角a- l -b. 则， cosa=b，由 得.注：S为任意多边形的面积 (可分别多个三角形的方法).(2).棱锥的性质：正棱锥各
6、侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜高).正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的
7、射影为三角形的垂心.每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；ABCD每个四面体都有内切球，球心是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.注：i.各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.()(各个侧面的等腰三角形不知是否全等)ii.若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直. ABCDOGHEF简证：ABCD，ACBDBCAD. 令得，已知，则.iii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.简证：取A
8、C中点O，则OOAC，B OAC AC平面O OBACBOFGH=90，易知EFGH为平行四边形EFGH为长方形.若对角线等，则EF=FGEFGH为正方形.3.棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分.(1).正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形.正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似的正多边形.正棱台的两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形.(2).棱台的侧面积的公式：S= (c + c)h(c，c分别为上下底面周长，h为斜高)棱台的体积的公式：(S，S分别为上、下底面的面积，h为高)
9、旋转体：一般地，一条平面曲线绕着它所在的平面内的一线定直线旋转所形成曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体，圆柱、圆锥、圆台和球特殊的旋转体.4.圆柱、圆锥、圆台的定义： 将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线为旋转一周，成的曲面所围成的几何体， 分别叫做圆柱，圆锥，圆台.这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边叫做母线.(1).圆柱、圆锥、圆台的性质：平行底面的截面是圆；过轴的截面(轴截面)分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形.注：在处理圆锥、圆台的侧面展开图问题
10、时，经常用到弧长公式l=R.(2).圆柱、圆锥、圆台侧面积、体积公式： 圆柱侧面积：S =cl =2r l；圆柱体积：V=r2h； 圆锥侧面积：S =cl =r l；圆锥体积：V=r2h； (r为半径，h为高) 圆台侧面积：S =(c+ c) l = (r + r)l；圆台体积：.5.球：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周形成的几何体叫做球(sphere)，半圆弧旋转而成的曲面叫做球面. 球的截面是一个圆面.球的表面积公式：S=4R2. 球的体积公式：.纬度、经度：纬度：地球上一点P的纬度是指经过P点的球半径与赤道面所成的角的度数.经度：地球上A，B两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴
11、所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B点的经度. 即某地的经度是一个二面角的度数，某地的纬度是一个线面角的度数.FABCDOEr两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的长，因此，求两点间的球面距离的关键就在于求出过这两点的球半径的夹角.6. 内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，则，ABCDOR得.注：球内切于四面体：外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.二、平面平面的两个特征：无限延展 ；平的(没有厚度).平面的画法：通常画平行四边形来表示平面. 当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成450，横边画成邻边的两倍
12、. 画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画. 一般用一个希腊字母、来表示.公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.推理模式：A，B，AB.应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面.如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆.公理1说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法.公理 2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的
13、直线.推理模式：A，A，=l，Al.应用：确定两相交平面的交线位置； 判定点在直线上.公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法.公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.1.经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 应用：确定平面；证明两个平面重合.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2.两个平面可将平面分成3或4部分. (两个平面平行，两个平面相交)3.过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（三条直线在一个平面内平行，三条直线不在一个平面内平行）.注：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.4.三个平面
14、最多可把空间分成 8 部分. (x、y、z三个方向)三、空间直线1.空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线共面有且仅有一个公共点；平行直线共面没有公共点；异面直线不同在任一平面内.注：两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（）(可能两条直线平行，也可能是点和直线等)直线在平面外，指的位置关系：平行或相交.若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内.两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.在平面内射影是直线的图形一定是直线.()(射影不一定只有直线，也可以是其他图形)在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.()(并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段)a、b是夹在两平行平面间的线段，若a=b，则a、b的位置关系为相交或平行或异面.21方向相同2.异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.(不在任何一个平面内的两条直线)2
