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1、重庆三峡学院毕业设计（论文）题目：泰勒公式及其应用院 系专 业 数学与应用数学（师范类）年 级学生姓名XXX学生学号XXX指导教师XXX完成毕业设计（论文）时间2013年5月摘要IAbstractII引言1第一章泰勒公式的意义2第二章泰勒公式的定义32.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式32.2带有拉格朗日型余项的泰勒公式3第三章 泰勒公式的应用53.1利用泰勒公式进行近似计算53.2利用泰勒公式求极限73.3利用泰勒公式求曲线的渐近线方程83.4利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值103.5利用泰勒公式判断级数和广义积分的敛散性113.5.1判断级数的敛散性113.5.2判断广义积分的敛散性123
2、.6利用泰勒公式判断函数的极值123.7利用泰勒公式证明不等式143.8泰勒公式在函数方程中的应用16第四章总结19致谢19参考文献19泰勒公式及其应用XXX（XXX数学与统计学院数学与应用数学专业2009级XXX XXX）摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分本文论述了泰勒公式的基本内容,并着重介 绍了泰勒公式在数学领域上的一些应用：利用泰勒公式作近似计算、求极限、判断函数的极 值、证明不等式和求曲线的渐近线方程；除此外，还可用泰勒公式求高阶导数在某些点的数 值、判断级数和广义积分敛散性,以及在函数方程中的应用.关键词：泰勒公式；佩亚诺余项；拉格朗日余项；应用Taylorformula a
3、nd its applicationXXX(Grade 2009, Mathematics and Applied Mathematics, School of Mathematics and Statistics,XXX, XXX, Chongqing XXX )Abstract: Taylors formula is an important knowledge in the mathematical analysis.This paper discusses some basic contents about the Taylors formula.And emphatically in
4、troduces the applications of Taylors formula in mathematics: we can use the Taylors formula to calculate approximation, solve the limitjudge function extremum,prove inequality and solve asymptote equation of curve.In addition, Taylors formula still can be used to solve the value of higher order deri
5、vative in some point , judge the convergence and divergence of progression and generalized integral,as well as its application of functional equations.Keywords: Taylors formula;Peanos remainder;Lagranges remainder;Application引言泰勒公式是数学分析和微分学中的一个非常重要的公式，它将一些复杂的函数近似的表 示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学
6、问题的有力工 具.18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brook Taylor）,于1717 年，他以泰勒定理求解了数值方程泰勒的主要著作是1715年出版的正的和反的增量 方法，书内陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家 、天文学家）信中首 先提出的著名定理一一泰勒定理泰勒公式起源于牛顿插值的有限差分法,1772年，拉格 朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有 考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成泰勒公式的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集 中体现了微积分“逼近
7、法”的精髓，在近似计算方面有着得天独厚的优势，它建立了函数的增 量、自变量增量与一阶及高阶导数的关系,将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函 数，这种“化繁为简”的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力工具所以我们可以使 用泰勒公式,来很容易地解决一些问题,如证明不等式,判断收敛性以及求极限问题等本文 主要介绍泰勒公式及其在各种问题中的具体应用，从而使我们更加认识到泰勒公式的重要 性.虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但同样也还有很多方面学者很少提及,因此在 泰勒公式及其在解题中的应用方面我们有研究的必要，并且有着相当大的空间.第一章泰勒公式的意义泰勒公式的意义是,用一个n次多项式来逼
8、近函数f (x).而多项式具有形式简单，易于 计算等优点.泰勒公式由f (x)的n次泰勒多项式P (x)和余项R (x)二o(x-x )n组成，我们来详 nn0细讨论它们.当n二1时，有P (x) = f (x ) + f(x )(x - x )1 0 0 0是y二f (x)的曲线在点(x , f (x )处的切线(方程)，称为曲线y二f (x)在点(x , f (x )处0 0 0 0 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似.当n二2时，有P (x) = f (x ) + f，( x )(x - x ) + f ：0)( x - x )22 0 002! 0是曲线y二f
9、(x)在点(x ,f (x )处的“二次切线”，也称曲线y二f (x)在点(x ,f (x )处 0 0 0 0 的二次密切可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好当次数越来越高时，接近程 度越来越密切，近似程度也越来越高.第二章泰勒公式的定义泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的,一类是定量的，它们的本质相同,但性质各异. 定性的余项如佩亚诺型余项o(x - X )n)，仅表示余项是比(x - X )n (当x T x时)高阶的 0 0 0X3x 3无穷小.如sin x二x 一 + o(x3)，表示当x T 0时，sin x用x - 近似表示，误差(余项)66是比x 3高阶的无穷小.定量的
10、余项如拉格朗日型余项1(n +1)!f (n+1)(g )(x - x )n+10(g也可以写成x +9 (x-x )、柯西余项(如在某些函数的幕级数展开时用)定量的余项一般用于 0 0函数值的计算与函数形态的研究.2.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式定理1若函数f (x)在点x0的某邻域存在直至n阶导数，则对此邻域内的点x有f (x) = f (x0) + 八 x0)( x 一 x0) + 2!门 x0)( x 一 x0)2 + + f (n)( x0)( x 一 x0)n +0 (x 一 x0) n )称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式，其中，R (x) = (x- x )n)称佩亚诺余项. n0
11、当x二0时，0f (x) = f (0) + f(0) x + 1 f(0) x 2 + + 丄 f (n )(0) xn +0 (xn ) 2!n!称为带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式.2.2带有拉格朗日型余项的泰勒公式定理2若f (n)(x)在a，b上连续，f (n+1)(x)在(a，b)内存在，则冷，x0丘a，b，玉在x与x0之间，使得申 f (n+1)(g )(x- x0)n+1 称为拉格f (x) = f (x0) + 八 x0)( x 一 x0) + 2!八 x0)( x 一 x0)2 + + 吕 f (n)(x0)( x 一 x0) n + Rn (x)称为带有拉格朗日型余项的泰勒
12、公式,其中，R (x)二n朗日型余项.注意到当n二0时，有f (x) - f (x ) = f (g )(x-x )(g 在 x 与 x 之间)0 0 0此式即为拉格朗日中值公式，所以，泰勒中值定理可以看作是拉格朗日中值定理的推广. 当xo二 时，在 与x 之间，可令g = xo +e（x-x0）=ex （00 i），则f（ x）=f（o）+八）x+2!八）x2 + nf（n）（o）xn+侖f（ n+i）（ x）xn+i称为带拉格朗日余项的麦克劳林公式.第三章泰勒公式的应用3.1利用泰勒公式进行近似计算当要求的算式不能得出它的准确值时，即只能求出近似值时,泰勒公式是解决这种问题 的一个好方法，
13、它既可以进行一些数值的近似计算，又可以得到函数的近似计算式.利用f (x)的带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式得到函数的近似计算式为皿x 2 +2!f(n)(0 )+xn + R (x),n!n其误差是 R (x) =f(n+1)(0x)xn+11 n(n + 1)!F面列举几个例子，说明其具体做法.,(0 0 1).例1计算e准确到10 -9 .解利用1x2ex = 1 + x +2!xn.+n!e+xn+1( 0 0 1)(n +1)!当x = 1时，有rr11e0e = 1 +1 + + +2!n!(n +1)!eo3故R (1)二,显然当 n =12 时，可得e 沁 2.71828182
14、8 .n(n +1)! (n +1)!例2计算ln1.3的值,使误差不超过0.0001.解 先写出f (x) -ln(1+ x)带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式：ln(1+ x)=x 兰 + 兰 + (-1)n-1 弋 + R (x)，2 3n n其中R (x)=n(1)n xn+1(n + 1)(1+g ) n+1(g在0与x之间)，令x = 0.3，要使1 Rn (x)l= (n +1：1+； )n+1 (0.3)n+1 0.0001(0g 0.3)则取n = 7即可.因此lnl.3 沁 0.3 - 0.045 + 0.009 - 0.00205 + 0.00049 - 0.00012 + 0.00003 - 0.00001 二 0.26231其误差 |R7| 0.0001.注意 泰勒公式只是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，x不能远离X0,否则 效果会比较差，甚至产生完全错误的结果.如在ln(1+ x)的泰勒多项式中令x二1，取它的前10项计算ln2的近似值，得到ln2 沁 1 -1 + - 1 +1 1 +1 - +1 = 0.64563492 23456789 10而ln2 = 0.69314728，误差相当大，但如改用其他泰勒多项式，如1 + xIn= ln(1+ x) ln(1- x)1 xx 2x 3x 2 nx 2x 3x 一+ 1
