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1、量子力学总复习第2章 波函数与Schrdinger方程薛定谔方程（几率流密度）定态薛定谔方程第3章 一维定态问题量子力学解题的一般思路由粒子运动实际情况正确写出势函数V(x)代入定态薛定谔方程解方程解出能量本征值和相应的本征函数求出概率密度分布及其他力学量一维无限深方形势阱本征能量和本征函数的可能取值，（n1，2，3，）方势垒的贯穿透射系数为方势阱的穿透与共振可见，若，则T一般很小。除非E取一些特定值，使得。此时，则反射系数共振透射。此条件为，或按照，改写为，共振能量一维谐振子 能量量子化，归一化波函数为最常用的几个态，基态，（偶宇称），第一激发态，（奇宇称），第二激发态，（偶宇称）例：设粒子
2、处在一维无限深方势阱中，证明处于定态的粒子讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。证：设粒子处于第n个本征态，其本征函数. （1） （2）在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于范围的几率为，故 ， （3）， （4）当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。第4章 力学量用算符表示、矩阵形式和表象变换对易关系的运算性质：1）2）3）4）对易关系角动量分量与动量分量的对易关系：球谐函数，满足本征值方程，矩阵形式：平均值公式例：利用测不准关系估算谐振子的基态能量。解：一维谐振子能量 。又奇，（由
3、(3.8)、(3.9)题可知），由测不准关系，得 。，得 同理有，。谐振子（三维）基态能量。第五章 力学量随时间的演化与对称性全同玻色子体系特例：（1）N=2粒子体系，单粒子态有2个，粒子的填充情况有两种对称波函数有两个（见前面的讨论）（2）N=3粒子体系单粒子态有3个， 111 则对称波函数可以写为这种对称态有1个 210则对称波函数可以写为这种对称态有6个，即，书写方式同。 300则对称波函数可以写为这种对称态有3个，即，书写方式同。第6章 中心力场氢原子：能量本征值为，氢原子束缚态的本征函数为最低几个能级的径向波函数是， ，例：对于氢原子基态，求电子处于经典禁区（即）的几率。解：氢原子基
4、态波函数为 ，相应的能量 动能 是经典不允许区。由上式解出为。因此，电子处于经典不允许区的几率为（令）第七章 粒子在电磁场中的运动正常Zeeman效应对碱金属原子，考虑加外场前后的球对称及守恒量问题属性外加磁场前加均匀磁场(沿z方向)后总哈密顿对称性球对称球对称性破坏守恒量(6.1.1)已证明，容易证明?守恒量完全集相应的能量本征值为Larmor频率第八章 自旋自旋算符与Pauli矩阵的对角化表象，第十章 微扰论非简并定态微扰理论能量一级修正 态矢的一级修正 能量的二阶修正例设Hamilton量的矩阵形式为：（1）设c1，应用微扰论求H本征值到二级近似；（2）求H 的精确本征值；（3）在怎样条件下，上面二结果一致。解：（1）c1，可取0级和微扰Hamilton量分别为：，是对角矩阵，是Hamilton H0在自身表象中的形式。所以能量的 0 级近似为：，由非简并微扰公式得能量一级修正：能量二级修正为：准确到二级近似的能量本征值为：(2)精确解：设 H 的本征值是 E，由久期方程可解得：解得：(3) 将准确解按 c( 的振幅为其中。利用一维谐振子的递推公式容易得出可知在一级微扰近似下，从基态只能跃迁到第一激发态（跃迁选择定则）。将上述矩阵元代入跃迁振幅表达式，有所以振子仍然停留在基态的几率为。6
