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1、北京2013模拟20（本小题共13分）定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”（）已知是首项为，公差为的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求的取值范围；（）已知数列的首项为，是数列的前n项和，满足，证明：是“三角形”数列；（）若是（）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项?（解题中可用以下数据：）20（本小题共13分）（）显然对任意正整数都成立，即是三角形数列。因为，显然有，由得解得.所以当时，是数列的保三角形函数. 3分（）由，得，两式相减得，所以 5分经检验，此
2、通项公式满足.显然,因为,所以是三角形数列. 8分（）,所以单调递减.由题意知，且,由得，解得,由得，解得.即数列最多有26项. 13分20.（本小题满分13分）现有一组互不相同且从小到大排列的数据，其中记，作函数，使其图象为逐点依次连接点的折线（）求和的值；（）设直线的斜率为，判断的大小关系；（）证明：当时，20（）解：， 2分； 4分（）解：， 6分因为，所以 8分（）证：由于的图象是连接各点的折线，要证明，只需证明 9分事实上，当时，下面证明法一：对任何，10分11分 12分所以13分法二：对任何，当时，；10分当时，综上， 13分20. （本小题满分14分）解：（I）因为且，即在是增函
3、数，所以 1分而在不是增函数，而当是增函数时，有，所以当不是增函数时，综上，得 4分 () 因为，且 所以，所以，同理可证，三式相加得 所以 6分因为所以而， 所以所以 8分() 因为集合 所以，存在常数，使得 对成立我们先证明对成立假设使得，记因为是二阶比增函数，即是增函数.所以当时，所以 所以一定可以找到一个，使得这与 对成立矛盾 11分对成立 所以，对成立下面我们证明在上无解 假设存在，使得，则因为是二阶增函数，即是增函数一定存在，这与上面证明的结果矛盾 所以在上无解综上，我们得到，对成立所以存在常数，使得，有成立又令，则对成立，又有在上是增函数 ，所以，而任取常数，总可以找到一个，使得
4、时，有所以的最小值 为0 13分20. （本小题满分13分）将正整数（）任意排成行列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数（）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.（）当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（）若表示某个行列数表中第行第列的数（，），且满足请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；（）对于由正整数排成的行列的任意数表，记其“特征值”为，求证：.（20）（本小题满分13分）证明：（）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.可设在第一行第一列，考虑与同行或同列的两个数只有三种可能，或或.得到数表的不同特征值是
5、或 3分714582369（）当时，数表为此时，数表的“特征值”为 4分13159101426711153481216当时,数表为此时，数表的“特征值”为. 5分21161116172227121318233891419244510152025当时,数表为此时，数表的“特征值”为. 6分猜想“特征值”为. 7分 （）对于一个数表而言，这个较大的数中，要么至少有两个数在一个数表的同一行（或同一列）中，要么这个较大的数在这个数表的不同行且不同列中. 当这个较大的数，至少有两个数在数表的同一行（或同一列）中时，设（）为该行（或列）中最大的两个数，则， 因为所以，从而 10分当这个较大的数在这个数表的
6、不同行且不同列中时，当它们中的一个数与在同行（或列）中，设为与在同行、同列中的两个最大数中的较小的一个.则有. 综上可得. 13分（20）（本小题共14分）已知实数组成的数组满足条件：； .() 当时，求，的值；（）当时，求证：；（）设,且， 求证：.（20）（共14分）()解： 由（1）得，再由（2）知，且.当时，.得，所以2分当时，同理得4分（）证明：当时，由已知,.所以.9分（）证明：因为，且.所以,即 .11分).14分20（本小题满分13分）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.记为所有这样的数表构成的集合对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积令（）
7、请写出一个，使得；（）是否存在，使得？说明理由；（）给定正整数，对于所有的，求的取值集合 20（本小题满分13分）（）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求 3分（）解：不存在，使得 4分 证明如下：假设存在，使得 因为， ， 所以，这个数中有个，个 令 一方面，由于这个数中有个，个，从而 另一方面，表示数表中所有元素之积（记这个实数之积为）；也表示， 从而 、相矛盾，从而不存在，使得 8分（）解：记这个实数之积为 一方面，从“行”的角度看，有； 另一方面，从“列”的角度看，有从而有 10分注意到， 下面考虑，中的个数：由知，上述个实数中，的个数一定为偶数，该偶数记为；则的个数为，所以 12分对
8、数表：，显然将数表中的由变为，得到数表，显然将数表中的由变为，得到数表，显然依此类推，将数表中的由变为，得到数表即数表满足：，其余所以 ，所以由的任意性知，的取值集合为13分 20.（本小题满分13分）给定一个项的实数列，任意选取一个实数，变换将数列变换为数列，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数可以不相同，第次变换记为，其中为第次变换时选择的实数.如果通过次变换后，数列中的各项均为，则称， ，为 “次归零变换”.（）对数列：1,3,5,7，给出一个 “次归零变换”，其中；（）证明：对任意项数列，都存在“次归零变换”；（）对于数列，是否存在“次归零
9、变换”？请说明理由.20. （本小题满分13分）解：（）方法1：3,1,1,3;：1,1,1,1;：0,0,0,0方法2：1,1,3,5;：1,1,1,3;：1,1,1,1；：0,0,0,04分（）经过次变换后，数列记为，取,则，即经后，前两项相等；取，则，即经后，前3项相等； 设进行变换时，其中，变换后数列变为，则； 那么，进行第次变换时，取，则变换后数列变为，显然有； 经过次变换后，显然有；最后，取，经过变换后，数列各项均为0.所以对任意数列，都存在 “次归零变换” 9分（）不存在“次归零变换”. 10分证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换时，那么此变换次数便不是最少.这
10、是因为，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行后，再进行，由，即等价于一次变换，同理，进行某一步时，；此变换步数也不是最小由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的满足 以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“次归零变换” （1）当时，对于1,4，显然不存在 “一次归零变换” ，结论成立（由（）可知，存在 “两次归零变换”变换：）（2）假设时成立，即不存在“次归零变换”当时，假设存在“次归零变换”此时，对也显然是“次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知不存在“次归零变换”，则是最少的变换次数，每一次变换一定满足，因为所以，绝不可能变换为
