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1、第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性透镜作为光学系统的基本光学元件之一，在光学成像系统起着成像补偿像差及调整倍率等作用，在光学信息处理中具有位相变换和傅里叶变换作用。光学成像系统是一种最基本的光学信息处理系统，它将输入图像信息从物面传播到输出面，输出图像信息由光学系统的传递特性决定。光学系统是线性系统，一定条件下为空间不变线性系统，既可在空域中，也可在频域中分析它的成橡规律和特性。这两种描述是完全等价的。对于相干和非相干系统，可分别给出本征函数，把输入信息分解为本征函数的频率分量，考察这些分量在系统传递过程中衰减、相移等变化，研究系统空间频率
2、特性即传递函数。这是一种全面评价光学系统传递信息能力的方法，也是评价其成像质量的方法。与传统方法如星点法、分辨法相比，OTF法能全面反映光学系统成像能力，有明显的优越性。现有计算机及高性能光电测试技术，使得OTF的计算和测量日趋完善。同时OIS的频谱分析作为光学信息处理技术的理论基础，对光学信息处理技术的应用起着极其重要的作用。 本章首先首先研究透镜的位相变换性质，然后讨论透镜的傅里叶变换性质，分分析透镜孔径对傅里叶变换的影响，然后讨论光学成像系统的频率特性。4.1 透镜的相位变换性质通常在衍射屏后面的自由空间观察夫琅禾费衍射时，要借助于透镜实现近距离的观察夫琅禾费衍射图。单色平面波垂直照射衍
3、射屏，在夫琅禾费近似下，观察平面上的场分布等于衍射孔径上场分布（屏函数）的傅立叶变换，透镜之所以可实现傅立叶变换，这是因为透镜具有相位变换作用。现研究一个无像差的薄透镜的成像，如图4.1.1所示，轴上点源S和透镜的距离为p，不考虑透镜的孔径造成的衍射影响，由于是薄透镜，这里认为入射光线经过透镜，出射光线在P2面上的高度同在P1上高度相等。从几何光学观点看，成像过程是点物S成点像S；从波面变换的观点看，透镜将发散球面波变换成会聚球面波。为了研究透镜的变换作用，引入透镜的复振幅透过率t(x,y)，定义为，其中分别是P1 和P2面上的复振幅分布，傍轴条件下，显然，S单色点光源发出的球面波在P1上的光
4、场U1(x,y)为图4.1.1 透镜的位相变换作用zx-yS （A为常数） (4.1.1)上式表明：P1上的振幅分布是均匀的，只有位相的变化。透过透镜后，成为会聚于S的球面波。P2上的复振幅分布为 (4.1.2)、并不影响P1和P2平面上相位的相对分布，分析时可忽略，则 (4.1.3)在式中令 (4.1.4)透镜的位相变换因子 (4.1.5)其中(4.1.4)式正式高斯公式。以上结果表明，由于透镜的位相变换作用，发散的球面波变为会聚的球面波。 当单位振幅平面波垂直于P1入射时，P2上的复振幅分布是： (4.1.8)傍轴条件下这是一个球面波的表达式。对于正透镜，f 0，上式所表示的是一个向透镜后
5、方f处的焦点F会聚的球面波；对于负透镜，f 0，这是一个由透镜前方-f处的虚焦点F发出的发散球面波。透镜内其他再考虑透镜孔径的有限大小，用P(x,y)表示孔径函数(光瞳函数)，其定义为 (4.1.7)于是透镜的位相因子可表示为 (4.1.8)透镜对光波的位相变换作用是由透镜本身的性质决定的，与入射光波复振幅的具体形式无关。可以是平面波、球面波、或者是特定分布的复振幅，但是必须满足傍轴条件。4.2 透镜的傅立叶变换性质透镜除成像外，还能实现傅立叶变换。第三章已经讨论过平面波垂直照射衍射屏的夫琅禾费衍射是衍射屏的傅里叶变换（除一因子），此外，在会聚光照明下的菲涅耳衍射，在会聚中心上场分布也是衍射屏
6、函数的的傅里叶变换（除一因子） ，两种途径的傅里叶变换都能通过透镜比较方便的实现。第一种情况可在透镜的后焦面上观察夫琅禾费衍射；第二种情况可在照明光源的共轭面上观察屏函数的夫琅禾费衍射图样，实际上第二种情况是第一种情况的特例。下面就透明片（物）放在透镜之前和透镜之后两种情况讨论。4.2.1 物在透镜前的傅立叶变换设照明点光源S在透镜前距离为p处，与输出面轴上点S成共轭点，即满足成像关系，如图4.2.1。要变换的透明物体放在透镜前方处，物的复振幅透过率为，这个位置称为入射面。输出面为x-y平面。这里认为透镜为无穷大，即不考虑透镜孔径的限制。图中的p,q和d0等均取正值。在傍轴条件下，由单色点光源
7、发出的球面波在物的前表面上造成的成分布为：1) 照明光束在物平面上的光场复振幅分布为： 2)从输入面上出射的光场： 3) 从输入面出射到达透镜平面，按照菲涅耳衍射公式，其复振幅分布： 4) 通过透镜后的场分布：式中是(4.1.7)定义的光瞳函数。5) 输出面即光源S的共轭面x-y 平面上的光场是：图4.2.1 物在透镜前方的傅立叶变换S是光瞳函数所确定的区域，将上式逐个代入并整理得：进一步整理得： (4.2.1)在上面的化简中，应用了物象共轭关系的高斯公式。(4.2.1)式是输入面位于透镜前，计算光源共轭面上场分布的一般公式。注意到照明光源同观察面始终保持共轭关系，因此(4.2.1)中q 由照
8、明光源的位置决定。下面讨论几个特殊位置： (1) 输入面位于透镜前焦面，即，由(4.2.1)式得 (4.2.2)在这种情况下,衍射物体的复振幅透过率与衍射场的复振幅分布存在准确的傅里叶变换关系。并且只要照明光源和观察平面满足共轭关系，与照明光源的具体位置无关。空间频率与位置坐标的关系始终为： (2) 输入面紧贴透镜，即d0 = 0，由(4.2.1)式得 (4.2.3)在此情况下，衍射物体的傅振幅透过率与观察平面上的场分布，不是准确的傅里叶变换关系，有一个二次相位因子。观察平面上的空间坐标与空间频率的关系为随 q 的值而不同。也就是说，频率的空间尺度上能按一定的比例缩放，这对光学信息处理的应用将
9、带来一定的灵活性。也能充分利用透镜孔径。（3）当光源位于无穷远时，也就是轴上平行光照明的情况，这时q = f , 对应的观察平面位于透镜后焦面上，由(4.2.1)得 这种情况下, 物在任一位置，衍射场的复振幅分布与物体的复振幅透过率存在准确的傅里叶变换关系。 4.2.2 物在透镜后方的傅立叶变换物在透镜后方的情况如图4.2.2所示，类似上述逐步计算的方法，容易得到入射到透镜前表面P1上的场为：，从透镜后表面P2出射的场为： S图4.2.2物在透镜后方的傅立叶变换从透镜后出射到达物的前表面的光场为 (4.2.4)通过物体后出射光场为：在 x-y 平面上： (4.2.5)将(4.2.4) 代入(4
10、.2.5) ，得 (4.2.6)其中利用与前面推到相同的方法，可得： (4.2.7)由(4.2.3)和(4.2.7) 可以看出，不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明光源的共轭面（光源位于无穷远时，共轭面是透镜的焦平面），则物面(输入面)和观察面(输出面)之间的关系都是傅里叶变换关系，即观察面上的衍射场都是Frauhofer衍射。显然，当d0=0，由（4.2.7）也可以得到（4.2.3）式。这就是说物前后紧贴透镜放置，在输出面上的到的衍射场是等价的。对于物在透镜前，光波从物到透镜之间的传播可以看成直线传播，对于物在透镜之后，投影的衍射物面上孔径做等效代替，也就是说，透镜的孔径效应表现为(4
11、.2.7)的被积函数附加一个因子，于是有(4.2.8)4.3 透镜的一般变换特性如前所述，照明光源和观察面是一对成像关系的共轭面。所以，物透明片无论是放在透镜前或透镜后，除一常数相位因子外，观察面总是物的频谱面。下面讨论物面和观察面位置任意的情况。如图4.3.1所示，正透镜焦距为f，物位于透镜之前d1处，像在透镜后d2处，物像距透镜的距离是任意的。单色平面波照射，物到透镜前表面，满足菲涅耳 衍射，面前的场分布 (4.3.1)考虑到透镜的位相变换作用，透镜面后的场分布 (4.3.2)0x0-y0x-yx-y1d1d2图4.3.1 透镜变换的一般性质观察面x-y上的场分布 上式中 (4.3.3)
12、(4.3.4)其中 (4.3.5)利用积分式 (4.3.6)对于的情况，可得 (4.3.7) (4.3.8)将(4.3.7)和(4.3.8)代入(4.3.4)，再将(4.3.4)代入(4.3.3)，得 (4.3.9)当时,后焦面作为观察面时上式化为 (4.3.10)显然，除一物透明片相位因子外，是的傅立叶变换。当、与f不等时，可以实现所谓分数傅立叶变换。见第八章节。当时，(4.3.10)中的二次相位因子被消除。 (4.3.11)是的准确傅立叶变换。当，即输入和输出满足物象共轭关系时， (4.3.12) (4.3.13)上式应用了函数的积分形式，将上两式代入(4.3.3)，得 (4.3.14)在
13、输出面上得到放大倍的像，同几何光学结果相同。4.4 光学成像系统的空间变换特性物面可以看作无数小面元组成，每一小面元都可以看作加权函数，系统对函数响应的像场分布称为点扩散函数(或脉冲函数)，用表示 。对于成像系统，知道了，通过线性叠加，可求得像面场的分布。4.4.1 透镜的线性特性现在研究在相干照明下，一个消像差的正薄透镜对透明物成实像的情况。如图4.4.1所示，物放置在距透镜d0假定紧靠物后的复振幅分布为，点发出的单位脉冲为 ，沿光的传播方向，逐面计算三个特定平面上的场份布，可以得到一个点源的输入输出关系。由（4.3.9）式可以得到，面前方 (4.4.1)图4.4.1透镜的点扩散函数为任意一点，可省去撇号，略去常数相位因子 (4.4.2)经过焦距为f，孔径函数为P(x,y)的透镜后，即面后方 (4.4.3)面上的光场是输入光脉冲从透镜后表面、经过菲涅耳衍射到达观察面引起的复振幅分布或点扩散函数，写为 (4.4.4)利用物像关系得 (4.4.5)上式比较复杂，现在来研究如何简化上式：由于不影响光强分布，可略去。但不能略去，因为它参与积分，对
