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1、上海交通大学硕士学位论文目录第一章 引言- 2 -1.1 耦合长短波方程的背景- 2 -1.1.1 Schrodinger方程的介绍- 2 -1.1.2 Kdv方程的介绍- 8 -1.1.3 Schrodinger-KdV方程组及耦合长短波方程的由来- 10 -1.2 Hamilton系统、辛算法及多辛算法- 11 -1.3 原有的数值方法- 17 -1.3.1 时间分裂方法- 17 -1.3.2 Crank-Nicolson方法- 19 -第二章 多辛格式- 22 -2.1 Euler Box格式- 24 -2.2 Preissman格式- 30 -2.3 Fourier拟谱格式- 35 -
2、第三章 数值实验- 40 -3.1 E_LS、CNI与Box_ls的误差及阶数- 40 -3.2 TSS与LS1的误差及阶数- 49 -第四章 结论- 55 -参考文献- 56 -致谢- 59 -第一章 引言1.1 耦合长短波方程的背景 1.1.1 Schrodinger方程的介绍 薛定谔方程(Schrodinger equation)是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及
3、对应的能量，从而了解微观系统的性质。 一关于波的简单介绍波的形式是多种多样的，平面波是指在波的传递过程中在一段距离内波幅变动不大的波。描述平面波的状态的波函数为： (1.1)为波函数。x与t分别表示x方向的距离变量与时间变量。函数计算结果的物理量为波幅，即长度单位为米。A为波幅，单位为米。指平面波相对稳定的最大波幅绝对值。cos(kx-wt)为波幅的变动系数，数值在-1，0，+1之间变动。k为单位长度弧度数，即，单位为弧度米。为单位时间弧度数，即 ，单位为弧度秒。由于=波速度，=即波在传播过程中不同距离的时间差。波函数(1.1)式可以写成： (1.2)如果上述波函数(1.2)式去掉括号中的第一
4、项，得到： (1.3)即为一个以时间为变量的振幅函数，这样的波并不向外传播，而是在原地上下振动，余弦cos的正负角的函数值是相等的，因此括号中的负号可以忽略。如果波函数(1.2)式中去掉括号中的第二项同时保留第一项，得到： (1.4)即为一个以坐标为变量的函数，是描述波到达各种位置的振动位移情况。波函数 (1.1)式也可以写成以e为底的复数形式： (1.5)通用的波动方程是如下形式： (1.6)化简为一维形式的波动方程： (1.7)函数是直接描述变量之间的关系，而物理方程则是在复杂的情况下表述各种物理量的关系，它可以包含各种函数，但对函数中的变量之间关系的表述不是那么直接，函数表达式与方程之间
5、，在一定条件下可以转换。下面给出具体的推导过程。对宏观平面波函数(1.5)式进行转换，得： (1.8)对时间二次微商得： 整理得：对坐标二次微商得： 整理得： 将两个二次微商的结果连接得：引入波速u，将上式整理得到：这就是前面的一维形式的波动方程(1.7)式。可见波函数与波动方程在一定条件下可以相互转换。应当注意到由波函数转换为波动方程的过程中，波幅常量A消失了，说明这个波动方程中含有的波函数与波幅常量没有直接联系。如果由波动方程反解出波函数，这个常量A需经过归一化处理重新找回来。通常，参照一般的波动描述方式，似乎可以建立一个类似的电磁波的波函数表达式： 然而，我们以宏观的平面波方式来描述量子
6、波时，必须考虑到量子波与平面波的重要区别：平面波的波函数描述的是一个波群(波束)，而量子波由于其量子性，表现为个体的量子波。即使一个有限的空间在一段有限的时间里，只有一个电子或者一个光子在运动，我们也得承认这个电子或者光子的波动性，应当也有波函数描述它。因此用波函数来描述量子波时，显然应当与描述光束或者电子束的方式有所区别，或者说不能用描述一般平面波的波函数的方法来描述量子波。分析光子的运动：光子在振动且以光速运动，以位置作为变量，光子的相位随之而变，换以时间作为变量，光子的相位也是随之而变。光子的波幅、一个波动周期内的速度也是在随位置和时间变动的，但是波动量的大小与相位的变动是相关的。因此首
7、先选取相位作为一个波动周期的因变量。将原来描述光束的函数式(1.8)改为描述单个光子的波函数： (1.9)函数的值就是相位，单位为弧度。将上述描述光子相位的函数用三角函数表示： (1.10)得到的是无量纲数，数值在-1，0，1之间变动，这就是我们描述概率幅的函数。加上适当的常数项A，使得波函数有适当的物理量，将模平方并按一定的物理量积分后，得到的结果是有量纲数，即概率密度： (1.11) 根据 (1.8)式对电磁波的函数表达式，按照式 (1.6)的通用波动方程，可以建立一个电磁波的波动方程： (1.12)方程中E表示什么呢?根据前面对一般波函数与波动方程的转换分析我们知道，这个E无法代表电场强
8、度，因为由波函数转换为波动方程的过程中，电场强度常量E已经消失了，现在这个E函数计算得到的值是无量纲数，在一定条件下按归一化处理后可以有一定的物理量纲，就是概率幅。由此可见，即使人们将波动视为量子的出现概率的似波性，在进行归一化处理之前，波动方程并不能完整地描述量子的波动状态，因为波动方程计算出来的概率幅数值在-1,0,1之间变动，必须考虑行程、波数等因素，进行适当的转换后才能得到实际波动的概率幅数值。因此归一化处理，实际上是使波动方程描述的物理现象回归实在的波动。笔者将在后面的实例中进一步说明，波动方程加上波动的边界条件，再加上归一化处理，是可以描述量子实在的。二 薛定谔方程1 建立描述电子
9、运动的波函数 既然电子的运动可以形成波，那么应当如同描述光子的波动一样，有一个波动方程描述电子的波动。参照前面描述光子的波动方程(1.10)式建立描述电子的波函数： 上式是量子单位制形式。将上面的波函数按下式描述为经典形式： 由于动量，即动能速度。能量E=，此处表示电子库仑势能。普朗克常数h=1， (1.13)2 将电子的波函数改写为复数形式并进行微商将(1.13)式改写为复数形式： (1.14)这里为了波函数的完整性加上了A，在后面进行微商处理时A自然消失，而在归一化处理时A又回到公式中，那时它的物理意义与我们进行归一化处理方式有关。将上述函数对时间微商得： (1.15)将上述函数对坐标微商
10、得： (1.16)为了将能量E引入，将(1.16)式再对x求一次偏导，得到： (1.17)转换中用上的公式，是由德布罗意波的动量与能量关系决定的。3. 得到薛定谔方程由(1.15)式得到： (1.18)由(1.17)式得到： (1.19)将(1.18)式与(1.19)式连接起来，就得到自由粒子的一维含时不计算势能的薛定谔方程： (1.20)如果考虑到量子的库仑势能，得到一维含时的薛定谔方程： (1.21)将上式扩展到三维，得到三维含时的薛定谔方程： (1.22)如果不考虑时间因素，得到三维定态的薛定谔方程： (1.23)其中：简化为一维定态的薛定谔方程： (1.24)定态是指粒子的概率密度分布
11、不随时间变化的状态，定态薛定谔方程示，任何时候粒子概率幅的空间分布，不随时间变化。 1.1.2 Kdv方程的介绍1834年英国科学家Scott Russell偶然观察到了一种奇妙的水波。1844年，他在英国科学促进协会第14届会议报告上发表的论波动一文中，对此现象作了生动的描述：“我观察过一次船的运动，这条船被两匹马拉着沿狭窄的运动迅速前进着，突然，船停了下来，而被船所推动的大堆水却并不停止，它们积聚在船头周围激烈地扰动着，然后水浪突然呈现在一个滚圆而平滑、轮廓分明的巨大孤立波峰，它以巨大的速度向前滚动着，急速地离开了船头，在行进中它的形状和速度并没有明显的改变，我骑在马上紧跟着观察，它以每小
12、时约八、九英里的速度滚滚向前，并保持着长约30英尺，高约1-1.5英尺的原始形状，渐渐地它的高度下降了。当我跟踪1-2英里后，它终于消失在逶迤的河道之中”。这就是Russell观察到的奇特现象，进而他认为这种孤立的波动是流体运动的一个稳定解，并成它为“孤立波”。Russell当时未能成功地证明并使物理学家们信服他的论断，从而埋汰数学家未能从已知的流体运动方程预言出这一现象，之后有关孤立波的问题在当时许多物理学家中引起了广泛的争论。直到60年后的1895年，Kerteweg，De Vries研究了浅水波的运动，在长波近似和小振幅的假定下，建立了单向运动的浅水波运动方程下面就简单推导一个Kdv方程
13、： 在竖直平面考察平面内流体的运动，考虑下面定解问题 其中是水的深度，h(t,x)是水波的函数。引进小参数a是平面波振幅，是波长。作下列变换：则上述方程组变为：把去掉还原成：用构造 所以成立构造的满足因为将代入到得 将代入到得 下面就建立关于h的偏微分方程：在上述两式中忽略一次以及以上的项得：取可得，展开在上述两式中忽略二次以及以上的项得将代入到刚得到的两项中分别可得： 取可得这就是经典的Kdv方程。 1.1.3 Schrodinger-KdV方程组及耦合长短波方程的由来各种客观环境已经在研究长短波之间的相互作用现象，尤其是在流体力学、等离子物理和化学物理。短波通常用Schrodinger方程来描述，长波一般用带有色散的某种类型的波方程来描述。本文中，我们用多辛积分1,2,3格式来研究耦合长短波方程(LSIE)。 (1.25)满足 (1.26) 复值函数表示短波的包络层，实值函数表示长波的振幅。是实常数。在方程(1.25)被用来在重力和微小范围模式下建立表面波。这个方程是Schrodinger-KdV方程组的一个特殊例子。
