《第九章SECTION4酉空间.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第九章SECTION4酉空间.doc（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4 酉空间一、 酉空间的定义与性质 酉空间与欧氏空间 设V为一个复数域F上的线性空间，若在V中定义了两个矢量的内积（数量积），记作（），且满足：(i) （）=（），其中（）是（）的共轭复数；(ii) （），等号当且仅当时成立；(iii) ，对任意成立；则称V为一酉（U）空间，又称为内积空间. 若F是实数域，这时内积是可交换的. 有限维实酉空间称为欧氏空间. 例 n维线性空间中，若规定 式中 则是一个酉空间. 酉空间中的内积具有性质： 1o（）2o 3o 一般，则 4o 模(范数) 由于，所以是实的. 令 称它为酉空间中矢量的模或范数. 模为的矢量称为单位矢量或标准矢量. 设，为酉空间的矢量，c
2、为一复数，则1o2o （柯西-施瓦兹不等式）等号当且仅当和线性相关时成立. 3o这些性质与空间的维数无关. 正交与标准正交基 酉空间V中，若，则称矢量正交于. 显然，若正交于，则也正交于. 酉空间中，任意一组两两正交非零矢量是线性无关的. 如果一组单位矢量两两正交，则称它为一个标准正交组. 若这矢量组又生成整个空间V，则称它为V的标准正交基. 设为酉空间V的一组标准正交矢量，则1o （贝塞耳不等式）2o正交于3o当V是有限维空间时，成为V的基底的充分必要条件是：任一个矢量可表示为 且 子空间的正交补空间 设V为复数域上的酉空间，S为V的一个子空间，若(i) (ii) 对和有则称T为S的正交补空
3、间. 由(i)立刻可知（空集）. 若S是一个有限维酉空间的一个子空间，则中有一个子空间T为S的正交补空间. 二、 酉空间上的特殊线性变换共轭变换 对域F上酉空间V上的一个线性变换L，由关系式 所定义的变换是线性变换, 称为L的共轭变换. 若，则称L为正规变换. 共轭变换有以下性质：1o2o3o4o5o若L是非奇异线性变换，则也是非奇异线性变换，并且 6o若在某一标准正交基下L的矩阵为A，则共轭变换关于这同一基底的矩阵为A的共轭转置矩阵. 自共轭变换（埃尔米特变换） 若，则称L为自共轭变换或埃尔米特变换. 自共轭变换有以下性质： 1o若L，M为自共轭变换，则也是自共轭变换. 当L，M可交换时，L
4、M也是自共轭变换. 2o在标准正交基下，自共轭变换的矩阵是埃尔米特矩阵. 反之，线性变换关于一标准正交基的矩阵是埃尔米特矩阵，则必为自共轭变换. 3o自共轭变换的特征值是实的. 4o有适当的标准正交基使自共轭变换L对应于一个实对角线矩阵，其主对角线上的元素是L的全部特征值. 酉变换 若对酉空间V中的任意，有线性变换L，使 则称L为酉变换. 酉变换有以下性质： 1o恒等变换为酉变换. 2o若L，M为酉变换，则LM也为酉变换. 3o若L为酉变换，则也为酉变换. 4oL为酉变换的充分必要条件是： 或 5o在标准正交基下，酉变换L的矩阵是酉矩阵. 反之，线性变换关于一标准正交基的矩阵是酉矩阵，则必为酉
5、变换. 6o酉变换的特征值的绝对值都是1. 三、 射影 射影及其性质 对线性空间V上的一个线性变换P，若有V的两个互补子空间S和T使得若，则 这种变换P称为V沿T在S上的射影. 射影有以下性质：1o若P是一个射影，则 因此射影是一个幂等变换；反之，幂等变换必为射影. 2o若是线性空间V分别沿在上和沿在上的射影，则(i) 是一个射影，当且仅当若时，则，并且是沿在上的射影. (ii) 若，则P是沿在上的射影. 3o设T，S为有限维线性空间的两个互补子空间，P为沿子空间T在子空间S上的射影，则P的矩阵可化为如下形式： 式中A是k阶方阵. 正射影 设S，T为复数域上一酉空间V的互补子空间，则V沿T在S
6、上的射影称为V在S上的正射影. 自共轭变换的分解 设L是有限维酉空间V上一个自共轭变换. 令为L的不同特征值，令为使的矢量的集合，则是V的子空间. 显然对，和是V的正交补空间. 若是Si的一个标准正交基，其中是的维数，则由一切这些所组成的集是V的一个标准正交基. 最后使Pi为V在Si上的射影，则关于上面的基底，L的矩阵有如下的形式： =式中表示阶单位矩阵. 另一方面，关于这个基底射影Pi的矩阵为式中表示阶的零矩阵. 因此自共轭变换可以写成射影的一个线性组合. 四、 酉空间中的度量 在本节第一段中，已经引入酉空间中的每个矢量的模（范数）. 酉空间中两“点”（即矢量），的距离与任二矢量，之间的角度的定义如下： 由上述方程所定义的函数满足尺度空间（见第二十一章，4，一）中的一切条件. 若V是一个实酉空间，则对一切，角度必须是实的.
