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1、数学物理方程函数方程积分方程微分方程：常微分方程、偏微分方程第一章、绪论典型方程和定解条件的建立1、弦振动方程弦的特点：匀、细、软、紧的一根弹性细线。振动特性：微小的、横向振动：振动的幅度很小，弦在任意位置处切线的倾斜角很小。考虑一根拉紧的长为l的弦，以弦的平衡位置所在直线为x轴，并以弦的左端点为坐标原点，则右端点的坐标为l。求它在平衡位置附近做微小的横向振动的规律。设时刻t，弦上坐标为x的点的位置为M，它可由位移函数u(x,t)来表示。下面利用微元法建立方程：在任一时刻t，任取一小段弦（x,x+x），它弧长为（都很小）这个结果说明在整个运动过程中，一小段弦（x,x+x）的长度可看作是不变的，
2、因此弦上各点的张力T的大小与时间t无关，而其方向是弦的切线方向。现在研究弧段在时刻t时的受力情况。它所受的力有弦内部的张力T，其方向沿弦的切线方向。这个力我们称为内力。假设在弧段运动方向，即ou轴方向上存在外力作用。设在时刻t，x点处的外力密度为，其方向垂直于x轴。则小弦段（x,x+x）上所受的外力为：概括起来就有：在ox轴方向上，弧段所受力的总和为在ou轴方向上，弧段所受力的总和为其中在时刻t时x点处的外力密度。弧段在时刻t沿ou轴方向的加速度为，其质量为，所以由Newton第二定律知=因为假设弦作微小的横向振动，故振动过程中，弦上的切线倾斜角也很小。这时有（1）由略去的高于一次方的各项有（
3、2），于是有 两端除以，再令有 或 （1）若弦不受外力作用，即，则（1）变为 （2）自由项：方程中与未知函数无关的项。方程（1）为非齐次方程，方程（2）为齐次方程。方程（1），（2）称为弦振动方程，或一维波动方程。同理，我们可以得到二维波动方程和三维波动方程（鼓膜的振动）（三维物体的振动，电磁振动）定解条件初值条件设弦在初始时刻点x的位移为，初始速度为，则u应满足的初值条件边值条件由物理学得知，弦在振动时，其端点（以端点x=0为例）所受的约束情况有三种类型：（1）固定端点：或。（2）自由端点：，即。（3）弹性支撑端点：即弦的这个端点固定在一个与ox轴垂直的弹簧上，则弹性支撑的应变力大小为；弦在
4、处沿ou轴方向的张力分力为，故有；而对于右端点，其所受的弹性支撑力为则弹性支撑的应变力大小为；弦的张力沿ou轴方向的分力为，故有；总之，在两个端点处都可表示成这里k为弹簧弹性系数，。2、热传导方程热量传导问题可以归结为求物体内部“温度分布”的确定。考虑三维空间内的物体G，假设其为均匀的且各向同性。设点处在时刻t的温度为。在G内任取一封闭曲面S，它所包围的区域记为。由热传导的Fourier实验定律知，在t,t+dt时间内，流过曲面ds的热量dQ为其中为曲面ds的法向且指向ds的正侧。k为热传导系数。对于曲面表示其外法方向，故从到时刻流入曲面内部的热量为区域内温度升高吸收的热量为其中c为比热，为质
5、量密度。于是由“热量守恒”有由Gauss公式有故有 （吸收的热量） （流入的热量）因此有 （3）其中，。若物体内部有热源，设单位时间内，单位体积内所产生的热量为，则同理易得相应的热传导方程为 （4）其中。如果我们考虑的是细杆（或是薄板）内的传热问题，则方程变为 一维热传导方程 二维热传导方程如果我们考虑的是稳恒的温度场，即与时间无关，温度分布达到某种动态平衡状态，则有，这时方程（3）变为 Laplace方程 （5）方程（4）变为 poisson方程 （6）定解条件若开始时刻物体的温度分布为，则应满足初值条件边值条件，分三种情况（1）若传热过程中边界上的温度为已知的函数，则有（2）若传热过程中，
6、物体G与周围介质绝热，即S上的热量流量为零，则有（3）若传热过程中，物体G与周围介质之间有热量交换，以表示邻接处介质的温度，由Newton冷却定律知，（流出G的热量）而单位时间内通过G的任一部分边界流入周围介质的热量为单位时间流过的热量为二者相等。由及的任意性知即其中。Laplace方程和Poisson方程只有初值条件，没有边值条件。一般而言，边值条件分为三种 第一边值条件 第二边值条件 第三边值条件边值条件中的自由项恒为零，则是齐次边值条件，否则为非齐次边值条件。基本概念偏微分方程：含有未知函数之偏导数的方程。阶数：方程中所出现的未知函数偏导数的最高阶数。线性：若方程中每一项都至多只出现未知
7、函数或其偏导数且是一次式，则称这个方程为线性偏微分方程。古典解：若一个函数具有某个偏微分方程中所出现的各阶连续偏导数，并且代入该方程中能使它变成恒等式，则这个函数称为该方程的古典解。定解问题：求方程满足一定的附加条件的解的问题，称为定解问题。这里的附加条件称为定解条件。对于不同的方程，不同的情况，定解条件的类型也不同，不能一概而论。定解问题中，若只有初值条件，则称为初值问题或Cauchy问题。定解问题中，若只有边值条件，则称为边值问题。定解问题中，若既有初值条件又有边值条件，则称为混合问题。定解问题的适定性解的存在性解的唯一性解的稳定性：定解条件及方程中的参数有微小变化时，解也只有微小的变动。否则定解条件中的微小误差，导致求出的解产生巨大的变化，这个解就不能很好地反映实际情况。适定性：一个定解问题存在唯一稳定的解，则此问题是适定的。含有n个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式 （7）其中是的已知函数，与无关。方程（7）满足叠加原理：若满足，而收敛且可逐项微分两次，则有满足特别地，若满足而收敛且可逐项微分两次，则也满足此方程。
