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1、高考数学压轴题集锦1椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点（）的准线与x轴相交于点，过点的直线与椭圆相交于、两点。 （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线的方程；（3）设（），过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明. (14分)2 已知函数对任意实数x都有，且当时，。（1） 时，求的表达式。（2） 证明是偶函数。（3） 试问方程是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。3（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：。（1） 若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；（2） 过点F的直线g交轨迹E
2、于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2 为定值；（3） 过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值。4.以椭圆1（a1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.5 已知，二次函数f（x）ax2bxc及一次函数g（x）bx，其中a、b、cR，abc，abc0.（）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点；（）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围.6 已知过函数f（x）=的图象上一点B（1，b）的切
3、线的斜率为3。（1） 求a、b的值；（2） 求A的取值范围，使不等式f（x）A1987对于x1，4恒成立；（3） 令。是否存在一个实数t，使得当时，g（x）有最大值1？ 7 已知两点M（2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为H，是2和的等比中项。（1） 求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；（2） 若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程。8已知数列an满足 （1）求数列bn的通项公式； （2）设数列bn的前项和为Sn，试比较Sn与的大小，并证明你的结论.9已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的
4、圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线对称（）求双曲线C的方程；（）设直线与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线经过M（-2，0）及AB的中点，求直线在轴上的截距b的取值范围； （）若Q是双曲线C上的任一点，为双曲线C的左，右两个焦点，从引的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程10. 对任意都有（）求和的值（）数列满足：=+，数列是等差数列吗？请给予证明；AOBxPy（）令试比较与的大小11. ：如图，设OA、OB是过抛物线y22px顶点O的两条弦，且0，求以OA、OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹.(13分)12.知函数f(x)log3(x22mx2m2)的定义域为R(1)求实数m的
5、取值集合M；(2)求证：对mM所确定的所有函数f(x)中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m的值和x的值.13.设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为函数f(x)= (1). 求f(的值。 （2）。证明：f(x)在上是增函数。 （3）。对任意正数x1、x2,求证：14已知数列an各项均为正数，Sn为其前n项的和.对于任意的，都有.I、求数列的通项公式.II、若对于任意的恒成立，求实数的最大值.15.( 12分)已知点H（3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足=0，=，（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过点T（1，0）作直线l与轨迹
6、C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0,0），使得ABE为等边三角形，求x0的值.16.（14分）设f1(x)=,定义fn+1 (x)=f1fn(x),an=,其中nN*.(1) 求数列an的通项公式；(2)若T2n=a1+2a2+3a3+2na2n,Qn=,其中nN*,试比较9T2n与Qn的大小.17 已知=（x,0），=（1，y），（+）（）（I） 求点（x，y）的轨迹C的方程；（II） 若直线L：y=kx+m(m0)与曲线C交于A、B两点，D（0，1），且有 |AD|=|BD|，试求m的取值范围18已知函数对任意实数p、q都满足（1）当时，求的表达式；（2）设求证：（3）设试比较与
7、6的大小19已知函数若数列：，成等差数列. （1）求数列的通项； （2）若的前n项和为Sn，求； （3）若，对任意,求实数t的取值范围.20已知OFQ的面积为 （1）设正切值的取值范围； （2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），当取得最小值时，求此双曲线的方程. （3）设F1为（2）中所求双曲线的左焦点，若A、B分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动点，且2|AB|=5|F1F|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.21、已知函数是偶函数，是奇函数，正数数列满足 求的通项公式；若的前项和为，求.22、直角梯形ABCD中DAB90，ADBC，AB2，AD，BC椭圆C以
8、A、B为焦点且经过点D（1）建立适当坐标系，求椭圆C的方程；（2）若点E满足，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且，若存在，求出直线l与AB夹角的范围，若不存在，说明理由23、设函数 （1）求证：对一切为定值； （2）记求数列的通项公式及前n项和.24. 已知函数是定义在R上的偶函数.当X0时, =.(I) 求当X0时, 的解析式;(II) 试确定函数= (X0)在的单调性，并证明你的结论.(III) 若且，证明：|0，a1=1，an+1= f()2，求数列an的通项公式an，并证明你的结论.30、已知点集其中点列在中，为与轴的交点，等差数列的公差为1，。（1）求数列，的通项公
9、式；（2）若求；（3）若是否存在使得若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。21经过抛物线的焦点F的直线与该抛物线交于、两点. (12分)（1）若线段的中点为,直线的斜率为,试求点的坐标,并求点的轨迹方程（2）若直线的斜率,且点到直线的距离为,试确定的取值范围.1（1）解：由题意，可设椭圆的方程为。 由已知得解得所以椭圆的方程为，离心率。（2）解：由（1）可得A（3，0）。设直线PQ的方程为。由方程组得，依题意，得。设，则， 。 由直线PQ的方程得。于是。 ，。 由得，从而。所以直线PQ的方程为或（3，理工类考生做）证明：。由已知得方程组注意，解得因，故。而，所以。2 f(x)= (2kx2k
10、+2, kZ) 略 方程在1，4上有4个实根3 x2=4y x1x2=-4 P(2,1) SMIN=4 .解：因a1，不防设短轴一端点为B（0，1）设BCykx1（k0）则AByx1 把BC方程代入椭圆，是（1a2k2）x22a2kx0|BC|，同理|AB|由|AB|BC|，得k3a2k2ka210（k1）k2（1a2）k10 k1或k2（1a2）k10当k2（1a2）k10时，（a21）24由0，得1a由0，得a，此时，k1故，由0，即1a时有一解由0即a时有三解 5 解：依题意，知a、b0abc且abc0a0且c0 （）令f（x）g（x），得ax22bxc0.（*）4（b2ac）a0，c0
11、，ac0，0f（x）、g（x）相交于相异两点 （）设x1、x2为交点A、B之横坐标则|A1B1|2|x1x2|2，由方程（*），知|A1B1|2 ，而a0， 4（）21（3，12）|A1B1|（，2） 6、解：（1）=依题意得k=3+2a=3， a=3，把B（1，b）代入得b=a=3，b=1（2）令=3x26x=0得x=0或x=2f（0）=1，f（2）=233221=3f（1）=3，f（4）=17x1，4，3f（x）17要使f（x）A1987对于x1，4恒成立，则f（x）的最大值17A1987A2004。（1） 已知g（x）=0x1，33x20， 当t3时，t3x20，g（x）在上为增函数，g（x）的最大值g（1）=t1=1,得t=2（不合题意,舍去） 当0t3时, 令=0,得x=列表如下:x（0, ）0g（x）极大值g（x）在x=处取最大值t=1t=3x=1当t0时，0，g（x）在上为减函数，g（x）在上为增函数，存在一个a=，使g（x）在上有最大值1。7、解:（1）设动点的坐标为P（x,y）,则H（0,y）,=（2x,y）=（2x,y）=（2x,y）（2x,y）=由题意得PH2=2即即，所求
