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1、中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院高等数学（1） 课程作业3（共 4 次作业）学习层次：专科 涉及章节：第3章 一、 计算题一、利用罗比塔法则求极限：1. 2. 3. 4. 5. 6.7. 8.9.10. 11. 12. 13. 14. 二、解答题1. 讨论函数 在处的连续性。2. 设有二阶连续导数，且，求 。3. 按的乘幂展开多项式。4. 证明函数在不包括得任何区间内都是增加的。5. 试问为何值时，函数在处取得极值？它是极大还是极小？并求此极值。6. 设函数在处取得极值为56，求。7. 周长为的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各为多长时，正方形和圆形面积之和为最
2、小？8. 在曲线上求一点P的坐标，使该曲线在该点处切线与两坐标轴所围成的三角形面积最小？9. 求函数= 的凸凹区间与拐点：10. 试确定一个三次多项式，使曲线在处有极值，是拐点。三、 证明题1. 设在上二阶可导，且，试证明在上单调增加。2. 证明下列不等式： （1） ； （2）参考答案二、 计算题一、利用罗比塔法则求极限：15. 16. 解：17. 解：18. 解：19. 解： 20. 解：21. 解：22. 解：23. 24. 解：25. 解：=26. 解： 因为 所以 27. 解：令 因为 所以 28. 解：令，则二、解答题1.解：由已知： ， 因为 ， 所以 在处连续。 2. 解： ，
3、， 。3.解：令 ， 则 ， ， ， ， ，4. 解：， 当时，恒成立，因此得证。5.解： 令即得出， 当时， 是极大值。6. 解：由已知：，且 又，所以， 从而。7. 解：设围成圆形的一段长为，则围成正方形的一段长为，根据题意有： 令得，此时， 所以当时，取最小值. 所以两段铁丝分别长为，时,正方形和圆形面积之和为最小。 8. 解：设，由得过该点的切线方程为 ，这条直线 在轴及轴的截距分别为， 所以所求面积为 ， ，令得出 ， 此时所求面积最小，并且点的坐标为。9. 解:= 当时,; 当时, 为的凸区间 为的凹区间 而 与为函数的两个拐点. 10. 解：设均为待定常数）。在处有极值，是其拐点。四、 证明题1. 证明：由已知： 而 又， ， 因此，即证。2. （1）证：令 则 当时，此时单调增加， 所以即为要证的不等式。 （2）证：令 则 当时，即此时单调增加， 所以即为要证的不等式。
