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1、合肥师范学院2013届本科生毕业论文（设计）学号：0907431050 本科毕业论文（设计）( 2013 届) 泊松分布在排队论中的应用 院 系 数学系 专 业 统计学 姓 名 孙中美 指导教师 赵玉华 职 称 讲 师 等 级 泊松分布在排队论中的应用摘 要日常生活中存在着大量有形和无形的排队和拥挤现象，小到如旅客购票排队，市内电话占线银行服务系统，高速公路收费系统，大到国防武器作战效能排队论的产生与发展来自实际的需要，实际的需要也必将影响今后的发展.已有的理论知识对日常生活中涉及排队论知识的实际问题建立了经典的模型，在这个基础上，对采集的数据进行相关的的分析，将分析的结果和分析得出的数据回带
2、到模型中，进行数学推演，得出数量指标的统计规律，然后根据这些指标为涉及排队论服务系统的改进提供有价值的参考. 本文先从排队论的相关基本知识入手，简单介绍排队论的内容，排队论的模型和模型需要用到的指标，从而引出对泊松分布的介绍，最后再运用泊松分布的相关知识对实际周边生活的排队服务系统进行拟合计算其指标从而得出模型最后的结论关键词：泊松分布 排队论 排队模型 模型结论ABSTRACTThere are a lot of tangible and intangible queuing and congestion phenomena in our daily life, such as passen
3、ger ticket queue, local telephone online, banking service system, the highway toll system. From a large perspective, it involves with the Defense Weapon Combat effectiveness. The emergence and development of queuing theory come from the actual demand that will also affect the future development. The
4、 existing theoretical knowledge is helpful to establish typical models involved with queuing theory in daily life. Based on that, we can make analysis of the collected data, the result of the analysis can be taken into the model. Through mathematical deduction, the statistical regularity of the quan
5、tity index can be produced. With those indexes, some valuable reference for the improvement related to the Queuing service system. This paper starts with the basic knowledge related to the queuing theory, then makes a brief introduction of queuing theory, queuing model and the required index, thus l
6、eads to a introduction of the Poisson distribution. Finally, the related knowledge of Poisson queue service system is applied to engage a fitting calculation of the indicators on the practical life. And the model conclusion can be obtained.Keywords: Poisson distribution queuing theory queuing model
7、the model conclusion.目 录摘 要IABSTRACTII1引言42 排队论的基本理论42.1排队论简介42.2判断服务系统优劣的指标53排队论模型中的相关分布63.1时间间隔的分布63.2服务时间的分布74具体模型74.1模型一：/（顾客源无限，系统容量不限）74.2模型二： /(系统容量有限)95具体实例分析106小结14III1 引言 泊松分布（poisson distribution)是一种统计与概率学中最常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩德尼泊松（simon-Denis poisson）于1838年提出，近些年来，随着自然科学的不断发展，泊松分布的重要性日益彰
8、显在泊松随机变量概念的基础上，加以推广便得到了泊松过程的概念泊松过程属于早期的和简单的点过程理论研究但泊松分布的相关概念在自然科学中却有着不可替代的位置泊松过程可以拟合现实生活中很大一部分的实际问题，比如保险理赔问题和排队论问题排队论的基本思想是丹麦电话工程师A.K.埃尔郎在解决自动电话问题时开始形成发展的一个随机服务系统理论通过对服务对象及服务时间的统计研究，得出数量指标（等待时间，排队长度等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优本文将要介绍的现实中的排队服务问题，此外，泊松分布在诸如管理
9、科学、交通运输、生物学、物理学、医学等很多涉及排队论问题的领域有着大量成功运用的实例2 排队论的基本理论由于排队可以归属为一种随机现象，因此在研究有关排队现象的时候，主要采取概率论的相关知识作为其主要的工具泊松分布作为概率论中最常见的分布在有关排队论问题中的应用非常广泛我们把排队论所要研究的对象（要求服务的人或事物）称为顾客，把为顾客服务的人或事物称作服务机构，将顾客排队等待的整个过程称作服务系统或排队系统由于顾客的到达时间和接受服务的时间到服务结束的时间一般说来都是随机的所以我们又称服务系统为随机服务系统122.1 排队论简介各种随机服务系统一般由三个部分组成，排队的一般过程就是顾客由顾客源
10、出发，到达服务机构（服务员或服务台）等待服务，接受服务，完成服务后离开的过程一般可以下三个构成部分：（1）输入系统；各类型的顾客以怎样的规律到达服务系统，主要是顾客到达时间的间隔分布；（2）排队规则；顾客到达服务系统后以怎样的次序方式接受服务，即如果全部的服务台都有顾客正在接受服务，则离开（损失制），或者是排队等待服务（等待制）还有系统的有限性和无限性即顾客源的有限或无限也是有差别的（3）服务机构：相同的时刻有多少可以提供服务的设备可以为顾客提供服务，单个顾客的服务时间是多少2.2 判断服务系统优劣的指标队长：服务系统总的顾客数，记其期望值为；排队长：服务系统中正在等待接收服务的顾客，记其期望
11、值为；通常情况下或越大，系统的服务质量越差，反之，则越好；逗留时间：某一顾客在服务系统中总的停留时间，记其期望值为；等待时间：指某一顾客在服务系统中排队过程所费总时间；忙期：指从某一顾客到达空闲服务机构至该机构再次空闲的时间间隔长度，是服务质量和强度的指标用表示从初始时刻（时刻）到时刻（时间区间用表示）到达服务台的顾客数，用表示在时间区间（）内共有个顾客到达服务台的概率，即：=下面本文将通过泊松分布及泊松过程的有关定理探求的概率分布首先引入泊松分布及泊松过程的有关定义和概念：定义2.1对于随机变量所有可能取值为满足以下两个条件时； ；则称这个分布服从参数为泊松分布，记为泊松过程作为一种累计的随
12、机事件发生次数的最基本的独立增量过程，排队问题中的计数过程需满足下面三个条件：i. 独立增量性：在没有重叠区间的时间间隔内到达服务系统的顾客数相互独立；ii. 平稳性：对充分小的，在时间区间内有一个顾客到达的概率与无关，而约与成正比即： （为大于零的常数）iii.普通性：对充分小的，在时间区间内有个或个以上顾客到达的概率极小，以至于可以忽略不计，即：由上述条件（i）取即从时刻算起，并记为；再由条件（ii）（iii）可得在内无顾客到达的概率为：因为 （即将拆分）由全概率公式有： 将 式两边同时除以可得： （是初值条件）当时可将式改写为： 其中的现实意义是时刻无人到达的概率为1对于初值问题，在分离
13、出的基础上，通过递推公式于是可得到：， 它的数学期望为， 方差至此我们可以得出这样的结论：上面这种顾客到达的计数过程是服从参数为的泊松分布3 排队论模型中的相关分布3.1 时间间隔的分布当寻求某种服务的顾客流入服务系统的过程是一个参数为的泊松过程时，那么，两个顾客相继到达的时间间隔服从参数为的负指数分布，并且两者是等价的下面将就此结论进行简单的证明设为的分布函数，那么：由分布函数求密度函数即对关于求导，可得：由指数分布的性质可知其期望,其现实意义为，若来客的平均到达率为，则他们的平均到达时间间隔为，二者的意义是互通的3.2 服务时间的分布对于服务时间的分布一般说来也服从负指数分布,推理过程与上
14、面时间间隔的分布类似，这里不再重述下面只给出的分布函数和它的密度函数 ， 其中为平均服务率，其现实意义是单位时间内能被服务完的来客数目下面就泊松分布在几种常见的排队论模型中的应用进行实例介绍4 具体模型4.1 模型一：/（顾客源无限，系统容量不限）该模型的具体条件有：输入过程的顾客源是无限的，彼此间的到来独立不相关，到达的顾客流服从泊松分布，并且到达的过程是平稳的排队服从单队形规则并且先到者优先接受服务，对队伍长度没有限制，只有一个服务台，来客接受服务的时间相互独立且都服从同一个负指数分布下面就泊松分布的知识对该模型的相关指标进行计算在顾客到达服从泊松分布（参数为）且服务时间服从指数分布（参数为）的前提，可知在的时间区间内，有一个来客到达的概率为，那么，它的对立事件即没有一个来客到达的概率为，同理，1个来客被服务完离开的概率为，其对立事件来客没有被服务完的概率为，有两个或两个以上来客到达或离开的概率为再次运用全概率公式：上式整理后得：；移项并在等式两边同时除以后得：；故有： 上式是对于的情况，当时，式可以改写为：联立并求其稳态条件下的解（此时与无关，可以改写为）；得到关于的差分方程：由式可得；由概率的知识规定：于是, ；
