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1、第四章：圆一、知识回顾圆的周长： C=2r 或 C=d、圆的面积：S=r圆环面积计算方法：S=R-r或 S=（R-r）(R 是大圆半径，r 是小圆半径）二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点 O 为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹
2、是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。drOBdC二、点与圆的位置关系11、点在圆内2、点在圆上d r 点 A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 d r 无交点；2、直线与圆相切 d = r 有一个交点；3、直线与圆相交 d R + r ； 外切（图 2） 有一个交点 d = R + r ；相交（图 3） 有两个交点 R - r d R + r ； 内切（图 4
3、） 有一个交点 d = R - r ；内含（图 5） 无交点 d R - r ；dRr周 1周 2周 3dRrdrR周 4周 5dRrdRr五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即： AB 是直径 AB CD CE = DE 弧 BC = 弧 BD 弧 AC =
4、 弧 AD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。AOECDOAB推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。CD即：在 O 中， AB CD弧 AC = 弧 BDB六、圆心角定理顶点到圆心的角，叫圆心角。圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，EFOACB只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即： AOB = DOE ； AB = DE ；D OC = OF ； 弧 BA = 弧 BDCOA七、圆周角定理顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的
5、圆心的角B即： AOB 和ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角 AOB = 2ACB 2、圆周角定理的推论：OADC的一半。推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；B即：在 O 中， C 、D 都是所对的圆周角 C = D推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所所对的弦是直径。即：在 O 中， AB 是直径或 C = 90 C = 90 AB 是直径C对的弧是半圆，OBA推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形。即：在 ABC 中， OC = OA = OBB ABC 是直角三角形或C = 90C角形是直角三AO注：
6、此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形CDBAE圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 O 中，四边形 ABCD 是内接四边形 C + BAD = 180B + D = 180DAE = Cfh、切线的性质与判定定理（1） 切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可OMAN即： MN OA 且MN 过半径OA 外端 MN 是 O 的切线（2） 性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点
7、垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。OB即： PA 、 PB 是的两条切线 PA = PBPPO 平分BPAA十一、圆幂定理（1） 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积B即：在 O 中，弦 AB 、CD 相交于点 P ， PA PB = PC PDDOPCA相等。CO ED（2） 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在 O 中，直径 A
8、B CD ， CE2 = AE BE（3） 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线， 到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。P即：在 O 中， PA 是切线， PB 是割线BADEOCBA切线长是这点 PA2 = PC PB（4） 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在 O 中， PB 、 PE 是割线 PC PB = PD PE十二、两圆公共弦定理AO1O2B圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图： O1O2 垂直平分 AB 。即： O1 、 O2 相交于 A 、 B 两点ABCO1O2 O1O2 垂直平
9、分 AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：O1O2 2 - CO22（1） 公切线长： RtDO O C 中， AB2 = CO 2 =；1 21（2） 外公切线长： CO2 是半径之差； 内公切线长： CO2 是半径之和 。OBDA十四、圆内正多边形的计算C（1） 正三角形3在 O 中 ABC 是正三角形，有关计算在 RtDBOD 中进行：OD : BD : OB = 1: 2；BCOAED（2） 正四边形同理，四边形的有关计算在 RtDOAE 中进行，：（3） 正六边形OE : AE : OA = 1:1: 2OBA同理，六边形的有关计算在 RtDOAB 中进行，AB : OB :
10、OA = 1:3 : 2 .6SB十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式A1、扇形：（1）弧长公式： l = npR ；180OlnpR21（2）扇形面积公式： S =lR3602n ：圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长 S ：扇形面积2、圆柱：（1）A 圆柱侧面展开图ADD1周 周 周S表底= S侧+ 2S =2prh+ 2pr2周 周 周 周 周BCC1B 圆柱的体积：V = pr 2hB1ORCrB（2）A 圆锥侧面展开图S表底= S侧 + S =pRr +pr 2B 圆锥的体积：V = 1pr 2h3A7“”“”At the end, Xiao Bian gives you
11、a passage. Minand once said, people who learn to learn are very happy people. In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning
12、 can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!
