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1、 第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知直线的参数方程为(t为参数),则直线上与点P(4,5)的距离等于的点的坐标是()A.(-4,5)B.(3,6)C.(3,6)或(5,4)D.(-4,5)或(0,1)解析:由题意,可得|t|=t=,将t代入原方程,得所以所求点的坐标为(3,6)或(5,4).答案:C2.设r0,则直线xcos +ysin =r与圆(是参数)的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.视r的大小而定解析:易知圆的圆心在原点,半径是r,则圆心(0,0)到直线的距离为d=r,恰好等于圆的半径,所以,直线和圆相切.答
2、案:B3.参数方程(t为参数)所表示的曲线是()A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线解析:由x=4t+可知,x4或x-4,又y=-2,故参数方程(t为参数)所表示的曲线是两条射线.答案:B4.已知圆的渐开线的参数方程为(为参数),则渐开线与x轴的交点可以是()A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)答案:D5.曲线(为参数)的对称中心()A.在直线y=2x上B.在直线y=-2x上C.在直线y=x-1上D.在直线y=x+1上解析:由已知得两式平方相加得(x+1)2+(y-2)2=1.所以其对称中心为(-1,2).显然该点在直线y=-2x上.故选B.答案:B6.双曲线的
3、渐近线方程为()A.y=xB.y=xC.y=2xD.y=3x解析:将参数方程化为普通方程为-x2=1.故渐近线方程为y=2x.答案:C7.已知椭圆的参数方程(t为参数),点M在椭圆上,对应参数t=,点O为原点,则直线OM的斜率为()A.B.-C.2D.-2解析:当t=时,x=1,y=2,则M(1,2),故直线OM的斜率k=2.答案:C8.与普通方程x2+y-1=0等价的参数方程(t,为参数)是()A.B.C.D.解析:普通方程x2+y-1=0中x可以取得一切实数.选项A中x大于等于-1,小于等于1,故不满足题意.选项B中,结合正切函数图像可知,满足题意,故成立.选项C中,由偶次根式的定义可知,
4、x0,故x不可取得一切实数,不满足题意.选项D中,同理可知结合正弦函数的有界性可知x不能取得一切实数,故不满足题意.答案:B9.已知过曲线(为参数,2)上一点P与原点O的直线PO,倾斜角为,则点P的极坐标为()A.B.C.D.解析:将曲线化成普通方程为=1(y0),与直线PO:y=x联立可得点P的坐标为.利用直角坐标与极坐标转化公式即可得到点P的极坐标.答案:D10.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=4sin,则直线l和曲线C的公共点有()A.0个B.1个C.2个D.无数个答案:B11.参数方程(t为参
5、数)所表示的曲线是()解析:将参数方程进行消参,则有t=,把t=代入y=中得x2+y2=1,当x0时,y0;当x0时,y0.对照选项,可知D正确.答案:D12.导学号73144044参数方程(为参数)化成普通方程是()A.2x-y+4=0B.2x+y-4=0C.2x-y+4=0,x2,3D.2x+y-4=0,x2,3解析:x=2+sin2=,cos 2=y+1,x=,即2x+y-4=0.又0sin21,x2,3.故选D.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知椭圆C的参数方程为(为参数),且椭圆C经过点,则m=,离心率e=.解析:椭圆的参数方程化为普通方程为x2+=
6、1.把代入,得m2+=1,得m=.a=2,b=1,c=,e=.答案:14.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1为(s为参数),直线l2为(t为参数),若直线l1与l2平行,则常数a的值为.解析:l1的普通方程为x=2y+1,l2的普通方程为x=a,即x=y+,l1l2,2=.a=4.答案:415.导学号73144045若过点P(-3,3),且倾斜角为的直线交曲线(为参数)于A,B两点,则|AP|PB|=.解析:直线的参数方程为(t为参数),依题意得消去,得t2+t+=0,设其两根为t1,t2,则t1t2=,故|AP|PB|=|t1|t2|=|t1t2|=.答案:16.已知圆C的圆心是直线(t
7、为参数)与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切.则圆C的方程为.解析:直线(t为参数)与x轴的交点为(-1,0),则r=,故圆C的方程为(x+1)2+y2=2.答案:(x+1)2+y2=2三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=2cos ,.(1)求曲线C的参数方程.(2)设点D在曲线C上,曲线C在点D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定点D的坐标.解(1)曲线C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0y1).可得曲线C的参数方程为(t为参数,
8、0t).(2)设D(1+cos t,sin t),由(1)知曲线C是以(1,0)为圆心,1为半径的上半圆,因为曲线C在点D处的切线与直线l垂直,所以tan t=,t=.故点D的直角坐标为,即.18.(本小题满分12分)已知在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参数).(1)以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程;(2)已知点A(-2,0),B(0,2),圆C上任意一点M(x,y),求ABM面积的最大值.解(1)圆C的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4.所以圆C的极坐标方程为2-6cos +8sin +21=0.(2)因为点M(x,y)到直线AB:
9、x-y+2=0的距离d=,所以ABM的面积S=|AB|d=|2cos -2sin +9|=.所以ABM面积的最大值为9+2.19.(本小题满分12分)已知直线l(t为参数,k,kZ)经过椭圆C(为参数)的左焦点F.(1)求m的值;(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点,求|FA|FB|的最小值.解(1)椭圆C的普通方程为=1,F(-1,0).直线l的普通方程为y=tan (x-m),k,kZ,tan 0,0=tan (-1-m),m=-1.(2)将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程=1中,并整理,得(3cos2+4sin2)t2-6tcos -9=0.设点A,B在直线参数方程中对应的参数分别为
10、t1,t2.则|FA|FB|=|t1t2|=.当sin =1时,|FA|FB|取最小值.20.(本小题满分12分)如图,已知椭圆=1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1,B2的连线分别交x轴于P,Q两点.求证:|OP|OQ|为定值.证明设点M(4cos ,2sin ),为参数,B1(0,-2),B2(0,2).则MB1的方程为y+2=x=x,令y=0,得x=,即|OP|=.MB2的方程为y-2=x=x,令y=0,得x=,即|OQ|=.故|OP|OQ|=16.21.(本小题满分12分)已知直线l为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=2cos
11、 .(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|MB|的值.解(1)=2cos 等价于2=2cos .将2=x2+y2,cos =x代入即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.(2)将代入,得t2+5t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,|MA|MB|=|t1t2|=18.22.导学号73144046(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,直线l经过点P(-1,0),其倾斜角为.以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线C
12、的极坐标方程为2-6cos +5=0.(1)若直线l与曲线C有公共点,求a的取值范围;(2)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.解(1)将曲线C的极坐标方程2-6cos +5=0化为直角坐标方程为x2+y2-6x+5=0.直线l的参数方程为(t为参数).将(t为参数)代入x2+y2-6x+5=0整理得,t2-8tcos +12=0.直线l与曲线C有公共点,=64cos2-480,cos 或cos -.又0,),的取值范围是.(2)曲线C的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,其参数方程为(为参数).M(x,y)为曲线C上任意一点,x+y=3+2cos +2sin =3+2sin,x+y的取值范围是3-2,3+2.
