《最新高中数学人教A版浙江专版必修5讲义：第二章 2．4 等比数列 含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新高中数学人教A版浙江专版必修5讲义：第二章 2．4 等比数列 含答案（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、最新人教版数学精品教学资料第一课时等比数列的概念及通项公式预习课本P4850，思考并完成以下问题 (1)等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列？(2)等比数列的通项公式是什么？(3)等比中项的定义是什么？1等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q0)点睛(1)“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；(3)“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q(n2)或q.特别注意，q不可以为零，当q1时，等比数列为常数
2、列，非零的常数列是特殊的等比数列2等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G.点睛(1)G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项G，即等比中项有两个，且互为相反数(2)当G2ab时，G不一定是a与b的等比中项例如0250，但0,0,5不是等比数列3等比数列的通项公式等比数列an的首项为a1，公比为q(q0)，则通项公式为：ana1qn1.1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列()(2)等比数列的首项不能为零，但
3、公比可以为零()(3)常数列一定为等比数列()(4)任何两个数都有等比中项()解析：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零(3)错误，当常数列不为零时，该数列才是等比数列(4)错误当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项答案：(1)(2)(3)(4)2下列数列为等比数列的是()A2,22,322，B.，Cs1，(s1)2，(s1)3， D0,0,0，解析：选BA、C、D不是等比数列，A中不满足定义，C、D中项可为0，不符合定义3等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为()A3 B
4、4C5 D6解析：选Bn1，n1，即3n1，n13，n4.4已知等比数列an为递增数列，a12，且3(anan2)10an1，则公比q_.解析：设公比为q，则3(ananq2)10anq，即3q210q30，解得q3或q，又因为a12且数列an为等比递增数列，所以q.答案：等比数列的通项公式典例(1)在等比数列an中，a1，q，an，则项数n为()A3B4C5 D6(2)已知等比数列an为递增数列，且aa10,2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an_.解析(1)因为ana1qn1，所以n1，即n5，解得n5.(2)由2(anan2)5an12q25q20q2或，由aa10a1q90
5、a10，又数列an递增，所以q2.aa10(a1q4)2a1q9a1q2，所以数列an的通项公式为an2n.答案(1)C(2)2n等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算活学活用在等比数列an中，(1)a42，a78，求an；(2)a2a518，a3a69，an1，求n.解：(1)因为所以由得q34，从而q，而a1q32，于是a1，所以ana1qn12.(2)法一：因为由得q，从而a132.又an1，所以32n11，即26n20，
6、所以n6.法二：因为a3a6q(a2a5)，所以q.由a1qa1q418，得a132.由ana1qn11，得n6.等比中项典例(1)在等比数列an中，a1，q2，则a4与a8的等比中项是()A4B4C D.(2)已知b是a，c的等比中项，求证：abbc是a2b2与b2c2的等比中项解析(1)由an2n12n4知，a41，a824，所以a4与a8的等比中项为4.答案：A(2)证明：因为b是a，c的等比中项，所以b2ac，且a，b，c均不为零，又(a2b2)(b2c2)a2b2a2c2b4b2c2a2b22a2c2b2c2，(abbc)2a2b22ab2cb2c2a2b22a2c2b2c2，所以(
7、abbc)2(a2b2)(b2c2)，即abbc是a2b2与b2c2的等比中项(1)由等比中项的定义可知G2abG，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项(3)a，G，b成等比数列等价于G2ab(ab0)活学活用1如果1，a，b，c，9成等比数列，那么()Ab3，ac9 Bb3，ac9Cb3，ac9 Db3，ac9解析：选B因为b2(1)(9)9，且b与首项1同号，所以b3，且a，c必同号所以acb29.2已知等比数列an的前三项依次为a1，a1，a4，则an_.解析：由
8、已知可得(a1)2(a1)(a4)，解得a5，所以a14，a26，所以q，所以an4n1.答案：4n1等比数列的判定与证明典例在数列an中，若an0，且an12an3(nN*)证明：数列an3是等比数列证明：法一定义法an0，an30.又an12an3，2.数列an3是首项为a13，公比为2的等比数列法二等比中项法an0，an30.又an12an3，an24an9.(an23)(an3)(4an12)(an3)(2an6)2(an13)2.即an3，an13，an23成等比数列，数列an3是等比数列证明数列是等比数列常用的方法(1)定义法：q(q为常数且q0)或q(q为常数且q0，n2)an为
9、等比数列(2)等比中项法：aanan2(an0，nN*)an为等比数列 活学活用(1)已知各项均不为0的数列an中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列(2)已知数列an是首项为2，公差为1的等差数列，令bnan，求证数列bn是等比数列，并求其通项公式证明：(1)由已知，有2a2a1a3，aa2a4，.由得，所以a4.由得a2.将代入，得a.a3，即a3(a3a5)a5(a1a3)化简，得aa1a5.又a1，a3，a5均不为0，所以a1，a3，a5成等比数列(2)依题意an2(n1)(1)3n，于是bn3n.
10、而12.数列bn是公比为2的等比数列，通项公式为bn2n3.层级一学业水平达标12和2的等比中项是()A1B1C1 D2解析：选C设2和2的等比中项为G，则G2(2)(2)1，G1.2在首项a11，公比q2的等比数列an中，当an64时，项数n等于()A4 B5C6 D7解析：选D因为ana1qn1，所以12n164，即2n126，得n16，解得n7.3设等差数列an的公差d不为0，a19d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于()A2 B4C6 D8解析：选Ban(n8)d，又aa1a2k，(k8)d29d(2k8)d，解得k2(舍去)或k4.4等比数列an的公比为q，且|q|1，a11
11、，若ama1a2a3a4a5，则m等于()A9 B10C11 D12解析：选Ca1a2a3a4a5a1a1qa1q2a1q3a1q4aq10q10，ama1qm1qm1，q10qm1，10m1，m11.5等比数列an中，|a1|1，a58a2，a5a2，则an等于()A(2)n1 B(2n1)C(2)n D(2)n解析：选A设公比为q，则a1q48a1q，又a10，q0，所以q38，q2，又a5a2，所以a20，a50，从而a10，即a11，故an(2)n1.6等比数列an中，a12，a38，则an_.解析：q2，q24，即q2.当q2时，ana1qn12(2)n1(2)n；当q2时，ana1
12、qn122n12n.答案：(2)n或2n7已知等比数列an的各项均为正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则_.解析：由题设a1，a3,2a2成等差数列可得a12a2a3，即q22q10，所以q1，q232.答案：328已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于_解析：依题意设原来的三个数依次为，a，aq.aaq512，a8.又第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，(aq2)2a，2q25q20，q2或q，原来的三个数为4,8,16或16,8,4.4816168428，原来的三个数的和等于28.答案：289在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数解：设前三个数分别为ad，a，ad，则有(ad)a(ad)48，即a16.设后三个数分别为，b，bq，则有b
