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1、复数的三角形式及乘除运算 一、主要内容: 复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义. 二、学习要求: 1熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值. 2深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式. 3能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）. 4利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题. 5注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法. 三、重点: 复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用. 四、学习建议:
2、 1复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的. 前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,bR).二是几何表示，复数Z既可以用复平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z的模和辐角来表示，设其模为r，辐角为，则Z=r(cos+isin)(r0). 既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化. 代数形式r=三角形式 Z=a+bi(a,bR) Z=r(cos+isin)(r0)
3、 复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中应是复数Z的一个辐角，不一定是辐角主值. 五、基础知识1）复数的三角形式定义：复数z=a+bi （a,bR）表示成r （cos+ isin）的形式叫复数z的三角形式。即z=r（cos + isin） 其中 为复数z的辐角。非零复数z辐角的多值性。以ox轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角叫复数z=a+bi的辐角因此复数z的辐角是+2k（kz）辐角主值 表示法；用arg z 表示复数z的辐角主值。 定义：适合0，2）的角叫辐角主值 唯一性：复数z的辐角主值是确定的，唯一的。不等于零的复数的模是唯一的。z=
4、0时，其辐角是任意的。复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。（求法） 这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。2）复数的向量表示 在复平面内与复数z1、z2对应的点分别为z1、z2（如图） 何量 何量 何量 与复数z2z1对应的向量为 显然ozz1z2 则argz1=xoz1=1 argz2=xoz2=2 argz
5、（z2z1）=arg z=xoz=3）复数运算的几何意义 主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化 如z1=r1（cos1+isin1） z2=r2（cos2+isin2）乘法：z=z1 z2=r1r2 cos(1+2)+isin(1+2) 如图：其对应的向量分别为显然积对应的辐角是1+2 若2 0 则由逆时针旋转2角模变为的r2倍所得向量便是积z1z2=z的向量。若2 0 则由向量顺时针旋转角模变为r1r2所得向量便是积z1z2=z的向量。 为此，若已知复数z1的辐角为，z2的辐角为求+时便可求出z1z2=za z 对应的辐角就是+这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。除法 （
6、其中 z20） 除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下：。例1下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式: (1) Z1=-2(cos+isin)(2) Z2=cos-isin(3) Z3=-sin+icos (4) Z4=-sin-icos(5) Z5=cos60+isin30 分析:由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向.变形时，可按照如下步骤进行:首先确定复数Z对应点所在象限（此处可假定为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角.此步骤可简称为“定点定名定角”.这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率.
7、解:（1）由“模非负”知，不是三角形式，需做变换:Z1=Z(-cos-isin) 复平面上Z1(-2cos,-2sin)在第三象限（假定为锐角），余弦“-cos”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“+”将变换到第三象限.Z1=Z(-cos-isin)=2cos(+)+isin(+) （2）由“加号连”知，不是三角形式 复平面上点Z2(cos,-sin)在第四象限（假定为锐角），不需改变三角函数名称，可用诱导公式“2-”或“-”将变换到第四象限. Z2=cos-isin=cos(-)+isin(-)或Z2=cos-isin=cos(2-)+isin(2-) 考虑到复数辐角的不唯一性
8、，复数的三角形式也不唯一. （3）由“余弦前”知，不是三角形式 复平面上点Z3(-sin,cos)在第二象限（假定为锐角），需改变三角函数名称，可用诱导公式“+”将变换到第二象限.Z3(-sin,cos)=cos(+)+isin(+) 同理（4）Z4=-sin-icos=cos(-)+isin(-) （5）Z5=cos60+isin30=+i=(1+i)=(cos+isin)=(cos+isin) 小结:对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点定名定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题. 例2求复数Z=1+cos+isin(2)的模
9、与辐角主值. 分析:式子中多3个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”. 解:Z=1+cos+isin=1+(2cos2-1)+2isincos=2cos(cos+isin).(1) 2 ,cos0(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2coscos(+)+isin(+) r=-2cos, ArgZ=+2k(kZ) +2，argZ=+. 小结:（1）式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为r=2cos, argZ=或ArgZ= 错误之处在于他们没有去考虑角范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式.看了这道例题，
10、你一定能解决如Z1=1-cos+isin(2) ，Z2=1+cos-isin(2)等类似问题. 例3将Z=(3)化为三角形式，并求其辐角主值. 分析:三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化. 解:=cos2+isin2 3, 26, 2-42， argZ=2-4 小结:掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一定要明确，即要分析式子结构.比较其与三角形式的异同，从而决定变形的方向，采用正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思，并能由此及彼，举一反三，达到熟练解决一类问题的目的，如1-itg, tg+i, i-ctg等. 2复数Z的
11、模|Z|的几何意义是:复平面上点Z到原点距离，复数模|Z1-Z2|的几何意义是:复平面上两点Z1，Z2之间距离.辐角几何意义是:以x轴正半轴为角始边，以向量所在射线为终边的角记为ArgZ.在0，2)范围内的辐角称辐角主值，记为argZ. 要求学生不仅要理解以上所说各几何意义，还要运用几何意义去解决相关问题. 例4若Zc，|Z-2|1，求的最大，最小值和argZ范围. 解:法一，数形结合 由|Z-2|1，知的轨迹为复平面上以（2，0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆周），|Z|表示圆面上任一点到原点的距离. 显然1|Z|3, |Z|max=3, |Z|min=1, 另设圆的两条切线为OA，OB，A
12、，B为切点，由|CA|=1，|OC|=2知 AOC=BOC=，argZ0,2) 法二:用代数形式求解|Z|的最大，最小值，设Z=x+yi(x,yR) 则由|Z-2|1得(x-2)2+y21, |Z|=, (x-2)2+y21, (x-2)21, -1x-21, 1x3, 14x-39, 1|Z|3. 小结:在一题多解的基础上，分析比较各种方法的异同，如何做好方法的选择.各种方法的本质和优势，通过分析与比较都一目了然. 例5复数Z满足arg(Z+3)=,求|z+6|+|z-3i|最小值. 分析:由两个复数模的和取最小值，联想到一个点到两个定点距离和的最小值，将之转化为几何问题来解决应比较简便.
13、解法一:由arg(Z+3)=,知Z+3的轨迹是一条射线OA，xOA=,而 |Z+6|+|Z-3i|=|(z+3)-(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)| 将B(-3,0)与C(3,3)连结，BC连线与OA交点为D，取Z+3为D点，表示复数时，|Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3, 所求最小值=3. 法二:由arg(Z+3)=, 知Z+3的轨迹是射线OA，则Z轨迹应是平行于OA，且过点（-3，0）的射线BM， |Z+6|+|Z-3i|就表示射线BM上点到点P(-6,0)和点Q(0,3)距离之和，连结PQ与射线BM交于点N，取E为N点表示复数时，|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3, 所求最小值=3. 小结:两种方法的本质相同，都是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决.如果纯粹用代数方法求解，难度会很大.对有关最值问题，尤其是模（距离）和辐角主值最值问题，用数形结合方法显然较为简便. 例6已知|Z-2i|1,求arg(Z-4i)最大值. 解：|Z-2i|1,点Z轨迹是以（0，2）为圆心，1为半径的圆面，在其上任取一点Z，连Z与点（0，4）得一以（0，4）为起点，Z为终点的向量，
