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1、第八章散射理论本章介绍：前面讨论了薛定田方程中的束缚态问题。而对于能量连续的散射态，能级间隔趋于零，因此一般说来，不能用微扰论来处理。另一方面，微观粒子之间的散射或称碰撞过程的研究，对于了解许多实验现象十分重要，所以，建立一套散射理论无论从实验上看，还是使理论更加完善上看，都是完全必要的。本章将分别就弹性散射和非弹性散射，按入射粒子的能量高低，分别建立不同的散射理论，并介绍了分波法和玻恩近似两种处理散射问题的近似方法。8.1散射截面法应用实例8.4玻恩近似8.5质心坐标系与实验坐标系86全同粒子的8.1散射截面在经典力学中，弹性散射是按照粒子在散射过程中，同时满足动量守恒和能量守恒来定义的。在
2、量子力学中，一般说来，除非完全略去粒子之间的相互作用势能，否则，动量将不守恒。因此，在量子力学中，不可能按经典力学的公式来定义弹性散射。在量子力学中，如果在散射过程中两粒子之间只有动量交换，粒子由内部运动状态决定，则这种碰撞过程成为弹性散射。如果在散射过程中粒子内部运动状态有所变化，如激发、电离等则称为非弹性散射。本章只讨论弹性散射问题。考虑一束入射粒子流向粒子A射来，取粒子流入射方向为Z轴。A为散射中心。为讨论方便起见，假定A的质量比入射粒子大得多，由碰撞引起的A的运动可以忽略。应当指出，散射过程是两体问题。因为它涉及两个互相散射的粒子。对于两体问题，最好的处理方法是采用质心坐标系。因为在质
3、心坐标系中，一个两体问题将被归结为一个粒子因为与质心的相互作用而被散射。另一粒子的运动可对称给出。从而归结为单体问题。如果散射中心粒子A的质量比入射粒子大得多，可以认为质心就在A上，这样就使问题处理简单多了。如图所示，入射粒子受人的作用而偏离原来的运动方向，发生散射。图中八角为散射粒子的方向与入射粒子方向的夹角，称为散射角。单位时间内散射到面积元dS上的粒子数dn应与dS成正比，而与dS到A点的距离/的平方成反比，即与dS对A所张的立体角成比例，而T=4。同时，击还应与入射粒子r流强度N成正比。粒子流强度：垂直于入射粒子流前进方向去一单位面积S。，单位时间内通过5。的粒子数。于是加MC以双夕。
4、）表示这个比例关系中的比例系数，在一般情况下，它与观察方向（。,。）有关，因而上式可写为册q3,0NdQ当强度N固定时,单位时间内散射到（。,）方向的粒子数d由4（0,0）决定。它与入射粒子、散射中心的性质以及它们只见的相互作用和相对动能有关。它的物理意义：一个入射粒子经散射后，散射到（夕方向单位立体角的几率。它的量纲可由（8L3）式中其他各量的量纲得出血=,W=吉-L=L2（8.1.4）即q（,（p）具有面积的量纲。我们称q（仇）为微分散射截面。NdQt如果在垂直与入射粒子流方向区面积q(,)d豆,则单位时间内穿过这个面积的粒子数等于d。将q(e,)dC对所有的方向积分，得Q=q(,)d=J
5、Jq(y)sindd(8.1.5)。称为总散射截面。上述微分散射截面和总散射截面的定义，在量子力学和经典力学中同样适用。下面我们讨论量子力学中如何由解薛定潮方程来定散射截面。取散射中心为坐标原点，用U(r)表示入射粒子与散射中心之间的相互作用势能，则体系的薛定将方程为-2+U=E(8.1.6)式中是入射粒子质量，E是它的能量，为方便，令2m=与，v=-=,V(r)=t(r)(8.1.7)则(8.1.6)式可mm改写为VV+2-丫(一)池=O我们观察被散射粒子都是在离开散射中心很远的地方,所以只需讨论8时”的行为就够了。假设,一8时，U(r)0,即粒子在远离散射中心时，两者之间的相互作用趋于零。
6、这样，在8的地方，波函数应由两部分组成：一部分是描述入射粒子的平面波%=Aeii=t另一部分是描述散射粒子的球面波函数匕=/(a0)0由+匕(8.1.9)这个波是由散射中心向外传播的，这里考虑的是弹性散射。所以散射波的能量没有改变，即波矢攵的数值不变。上式中了(夕仅是。的函数与/无关。取A=I,则帆/，这表明每单位体积只有一个入射粒子。入射波的几率流密度屋=饕，;=-w-.V1=V子流强度，即(8.1.3)的N散射波的几率流密度是2tn匕垩,；华口六彳考卜52drorJ2mr)r单位内穿过球面上单位时间的粒子数，故单位时间穿过面积dS的粒子数是M=J心=Tf(6MdS=币SMfdC因为y=N,
7、比较(8.1.12)与(8.1.3)两式，可知微分截面是MeM=I，(a0)(8.1.13)所以知道了/(。,，就可以求得夕(夕，9)。/(夕磔称为散射振幅。的具体形式通过求薛定将方程(8.L8)的解并要求在r8时解具有(8L9)的形式而得出。下面几节我们将具体讨论如何求方程(8.L8)的解。8.2分波法本节我们介绍在粒子受到中心力场的弹性散射时，从解方程(8.L8)而求出散射截面的一种方法，后面还将介绍另一种方法，这两种方法各有各的适用范围。在中心力场的情况下，方程(818)可改写为力“+伙2-V(A)=O(8.2.1)取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴，这个轴是我们所讨论问题的旋转
8、对称轴，波函数和散射振幅都与。角无关。方程(8.2.1)的一般解可写为(r,)二工&M丫点仇(P)(8.2.2)现在-既与夕无关，所以根=0,因而(821)Im的一般解写为5。)=ZR/片(CoSe)(8.2.3)这个展式中每一项称一个分波，R(r)片(CoSe)是/第/个分波，每个分波都是方程(82.工)的一个解。通常称/=1,2,3,的分波分别为s,p,d,分波。径向函数R/)满足方程Lg(产华)+伙2-V-处叫K=O(824)令R)=汕则rdrarrr乌学+伙2叭刀_丝D0(8.2.5)由于/与9角无关，/只是。的函数，犷的dr渐进表示式(81.9)可写为ik，r“*+(g)-y(8.2
9、.6)当，趋于无限大时V趋于零，所以当Ff8时则(8.2.5)式可化为粤一公=0(8.2.7)它的解是(r)=Asin(6+4)由此有dr4，A1sn(kr-+l)Rl(r)-sin(Z:r+)=(8.2.8)其中rrAi=kAll=,l+l(8.2.9)将上式代入(826)式，得到(82.1)的渐进解QOy/=OA1sin(kr- - + l)片(COS)(8.2.10)将其写成(8.2.6)的形式就可以得到散射振幅f(),为此目的我们利用平面波按球面波展开公式*=*mJZ(2+l*(b)片(COSe)(8.2.11)式中/)是球面贝塞尔函数，/=O它和贝塞尔函数的关系是抵底飞(切FSing
10、加)因此4(21+IWsin(kr-)P1(cos)+-eikr=Sin(AT+苞)(COS6)(8.2.(12) 公式sina=-(eia-eia)2i将上式中的正弦函数写成指数函数，得2kif(0)+X(2/+l),e(cos6)-a4t(cos0)iir+(2/+l),(cos6)-A1eitPl(cos0)e-itr=0(8.2.(13) 上式成立，则屋和而的系数必须都为零24(6)+Z(2+l)i产片(COSe)=Z4eZ(cos6)(8.2.14)/IQTr-E/(&)Z(2+l)2月(cosO)=Z4e2片(CoSe)(8.2.15)在(8215)/I式两边乘以片(CoSe)后，
11、对。从o乃积分，并利用勒让德多项式的正交性，可得4=(2+l)i/(8.2.16)将这个结果代入(8.2.14),就得到x-,.1-,.-lit_l2物(O)=Z(2/+1*32j-(2+l)z2e25(CoSe)/=Z(2/+l)(e26_l)(cosO)=Z(2/+l)*(*eM)6(cosO)(8.2.17)则/=Z(2/+1)匕(cos6)2ie助SineI/(0)=4+1M(COs。)*Sine(8218)微分散射截面是2(8.2.19)总散射截面是kII*sine式。)=|/(对=AZ+1)伙cos。)kIQ=2乃1)q(9)sind=(2z+DR，+1)6(COS。)以CoS)s
12、indei-,ysinlsinrk=o,=o09-ooOS(8.2.20)=Trt之+1)(2+1)_!_/储-4)Sinlsinl.k=or=o2/+17rJL三=T(2z1)sin2=/kI=Q/=04乃Ql=B21+l)sin2l(8.2.21)是第/个分波的散射截面。由于R(I)=1,所以/(0)K的虚部是Im/(0)=-(2/+1)sin2(8.2.22)k=oQ=-Im/(0)称为光学定理。它表示由散射振幅在零点的虚部可以求出总K散射截面。综上所述，我可以看到，分波法对低能粒子的散射特别有效。对低能粒子，/小,lka,要算的分波的数目较少。8.3分波法应用实例作为应用分波法的一个例
13、子。我们讨论低能粒子受球对称方形势阱的散射。入射粒子能量很小，它的德布罗意波长比势场作用范围大得多。质子和中子的低能散射可以近似归结为这种情形。以。表示方势阱的范围，于是粒子的势能可写为U(r)=F0在势阱的情况下U0aS散射(/=0)就够了，取(8.2.5)中/=0得+2= 0 , rci(832)式中公=岑，H=42一z方程dr-(8.3.(1) 是(8.3.3)由波函数标准条件，R=里在r=0处有rw(r)=Asin(A,+),ra限，所以4=0在r=a,处为连续，得kcotka+)=Z:cotk,c(8.3.4)得u(r)dr坦ka-ka(8.3.5)由公式(8.2.20),总散射截面
14、tgka-ka(836)在粒子能量很低八八4.2c4乃。QPQ)=ZrSIn0=-sm-arctgZ0的情况下，因为x0时，arctgxx9所以(8.3.5)式可简化为品hz她一11,%=包乌-I(836)式可化为LKa_z、2sin2442w华-1(8.3.7)如果散射场不是势阱而是势垒，匕kIkQa)即U00,那么在(837)式中将A换成汝,%0时总散射截面为Qc-(8.3.8)当Uof8时，A0,于是有IZOa)pkOa-P知thk.a=-i-(8.3.9)代入(838)式中得Q4r在这种情况下，总散射截面等于半径为。的球面面积。这个结果与经典情况不同。在经典力学中，总散射截面等于刚球的最大截面面积万/。量子力学的结果比经典力学大四倍。8.4玻恩近似这一节我们介绍另一种
