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1、 第1讲空间几何体的三视图及表面积和体积的计算问题高考定位1.三视图的识别和简单应用；2.简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问.真 题 感 悟1.(2016全国卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是()A.17 B.18C.20 D.28解析由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O且互相垂直的三个平面)切掉左上角的后得到的组合体，其表面积是球面面积的和三个圆面积之和，易得球的半径为2，则得S42232217.答
2、案A2.(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A.90 B.63 C.42 D.36解析法一(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示.将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V32432663.法二(估值法)由题意知，V圆柱V几何体V圆柱，又V圆柱321090，45V几何体90.观察选项可知只有63符合.答案B3.(2017全国卷)已知圆柱的高为1，它
3、的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A. B. C. D.解析如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心.球半径ROA1，球心到底面圆的距离为OM.底面圆半径r，故圆柱体积Vr2h1.答案B4.(2017全国卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_.解析如图，连接OA，OB，因为SAAC，SBBC，所以OASC，OBSC.因为平面SAC平面SBC，平面SAC平面SBCSC，且OA平面SAC，所以OA平面SBC.设球的半径为r，则OAOBr，SC2r，所以
4、VASBCSSBCOA2rrrr3，所以r39r3，所以球的表面积为4r236.答案36考 点 整 合1.空间几何体的三视图(1)几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等.(2)由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体.2.空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：S柱侧ch(c为底面周长，h为高)；S锥侧ch(c为底面周长，h为斜高)；S台侧(cc)h(c，c分别为上下底面的周长，h为斜高)；S球表4R2(R为球的半径).(2)柱体、锥体和球的体积公式：V柱体Sh(S为底面面积，h为高)；V锥体Sh(S为底面面积
5、，h为高)；V球R3.热点一空间几何体的三视图与直观图【例1】(1)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是()(2)(2017泰安模拟)某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于()A.4 B. C. D.5解析(1)由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B可
6、以是几何体的俯视图.(2)根据几何体的三视图，知该几何体是底面为直角三角形，两侧面垂直于底面，高为5的三棱锥PABC(如图所示).棱锥最长的棱长PA.答案(1)B(2)C探究提高1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图.2.由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.(3)确定几何体的直观图形状.【训练1】 (1)(2017兰州模拟)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱
7、锥PBCD的正视图与侧视图的面积之和为()A.1 B.2 C.3 D.4(2)(2016天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为()解析(1)设点P在平面A1ADD1的射影为P，在平面C1CDD1的射影为P，如图所示.三棱锥PBCD的正视图与侧视图分别为PAD与PCD，因此所求面积SSPADSPCD12122.(2)由几何体的正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图，故其侧视图为图.答案(1)B(2)B热点二几何体的表面积与体积命题角度1空间几何体的表面积【例21】(1)(2016全国卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的
8、三视图，则该几何体的表面积为()A.20 B.24C.28 D.32(2)(2017全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A.10 B.12C.14 D.16解析(1)几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由三视图知r2，c2r4，h4.所以l4.故该几何体的表面积S表r2chcl416828.(2)由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，S梯(24)26，S全梯6212.答案(1
9、)C(2)B探究提高1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小.(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式.2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.【训练2】 (2017枣庄模拟)如图，某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体积是，则它的表面积是_.解析由题设及几何体的三视图知，该几何体是一个正方体截去4个三棱锥后剩余的内接正三棱锥BA1C1D(如图所示).设正方体的棱长为a，则几何体的体积是Va34a2aa3，a1，三棱锥的棱长为
10、，因此该三棱锥的表面积为S4()22.答案2命题角度2空间几何体的体积【例22】(1)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为()A.3 B. C.1 D.(2)(2017山东卷)由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_.解析(1)如图，在正ABC中，D为BC中点，则有ADAB，又平面BB1C1C平面ABC，ADBC，AD平面ABC，由面面垂直的性质定理可得AD平面BB1C1C，即AD为三棱锥AB1DC1的底面B1DC1上的高.VAB1DC1SB1DC1AD21.(2)该几何体由一个长、宽、高分别为2，1，1的长
11、方体和两个半径为1，高为1的圆柱体构成，所以V21121212.答案(1)C(2)2探究提高1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.【训练3】 (1)(2016山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为()A. B.C. D.1(2)(2017北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A.60 B.30 C.20 D.10解析(1)由三视图知该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径
12、为，从而该几何体的体积为121.(2)由三视图知可把三棱锥放在一个长方体内部，即三棱锥A1BCD，VA1BCD35410.答案(1)C(2)D热点三多面体与球的切、接问题【例3】(2016全国卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A.4 B. C.6 D.解析由ABBC，AB6，BC8，得AC10.要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面ABC的内切圆的半径为r.则68(6810)r，所以r2.2r43，不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.由2R3，即R.故球的最
13、大体积VR3.答案B【迁移探究】若本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面积.解将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E1C1，则球O是长方体ABECA1B1E1C1的外接球.体对角线BC1的长为球O的直径.因此2R13.故S球4R2169.探究提高1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.【训练4】 (2017济南一中月考)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A.36 B.64C.144 D.256解析因为AOB的面积为定值，所以当OC垂直于平面AOB时，三棱锥OABC的体积取得最大值.由R2R36，得R6.从而球O的表面积S4R2144.答案C1.求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算.(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解.(3)求解旋转体的表面积和体
