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1、数列公式一、高中数列基本公式:1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系:2、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d, an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项)当d0时,an是关于n的一次式;当d=0时,an是一个常数。3、等差数列的前n项和公式:Sn= Sn= Sn=当d0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a10),Sn=na1是关于n的正比例式。4、等比数列的通项公式: an= a1qn-1an= akqn-k(其中a1为首项、ak为已知的第k项,an0)5、等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式);当q1时,
2、Sn= Sn=二、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、仍为等差数列。2、等差数列an中,若m+n=p+q,则3、等比数列an中,若m+n=p+q,则4、等比数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、仍为等比数列。5、两个等差数列an与bn的和差的数列an+bn、an-bn仍为等差数列。6、两个等比数列an与bn的积、商、倒数组成的数列、仍为等比数列。7、等差数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。8、等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等
3、比数列。9、三个数成等差数列的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法:a/q,a,aq;四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?)11、an为等差数列,则(c0)是等比数列。12、bn(bn0)是等比数列,则logcbn (c0且c1) 是等差数列。13. 在等差数列中:(1)若项数为2n,则(2)若数为2n+1,则,14. 在等比数列中:(1)若项数为,则(2)若数为则,向量公式设a=(x,y),b=(x,y)。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+
4、b=(x+x,y+y)。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减” a=(x,y) b=(x,y) 则 a-b=(x-x,y-y). 3、数乘向量 实数和向量a的乘积是一个向量,记作a,且a=a。 当0时,a与a同方向; 当0时,a与a反方向; 当=0时,a=0,方向任意。 当a=0时,对于任意实数,都有a=0。 注:按定义知,如果a=0,那么=0或a=0。 实数叫做向量a的系数,乘数
5、向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当1时,表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上伸长为原来的倍; 当1时,表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上缩短为原来的倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律:(a)b=(ab)=(ab)。 向量对于数的分配律(第一分配律):(+)a=a+a. 数对于向量的分配律(第二分配律):(a+b)=a+b. 数乘向量的消去律: 如果实数0且a=b,那么a=b。 如果a0且a=a,那么=。 4、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作a,b并规定0a
6、,b 定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作ab。若a、b不共线,则ab=|a|b|cosa,b;若a、b共线,则ab=ab。 向量的数量积的坐标表示:ab=xx+yy。 向量的数量积的运算律 ab=ba(交换律);(a)b=(ab)(关于数乘法的结合律);(a+b)c=ac+bc(分配律); 向量的数量积的性质 aa=|a|2。 ab =ab=0。 |ab|a|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律,即:(ab)ca(bc);例如:(ab)2a2b2。 2、向量的数量积不满足消去律,即:由 ab=ac (a0),推不出 b=c。 3、|ab|a
7、|b| 4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。 向量的三角形不等式 1、a-ba+ba+b; 当且仅当a、b反向时,左边取等号; 当且仅当a、b同向时,右边取等号。 2、a-ba-ba+b。 当且仅当a、b同向时,左边取等号; 当且仅当a、b反向时,右边取等号。 *定比分点 定比分点公式(向量P1P=向量PP2) 设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 ,使 向量P1P=向量PP2,叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有 OP=(OP1+OP2)/(1+);(定比分点向量公式) x=(x1+x2)/(1+), y=(y1+y2)/(1+)。(定比分点坐标公式) 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 若OC=OA +OB ,且+=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式 在ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为ABC的重心 向量共线的重要条件 若b0,则a/b的重要条件是存在唯一实数,使a=b。 a/b的重要条件是 xy-xy=0。 零向量0平行于任何向量。 向量垂直的充要条件 ab的充要条件是 ab=0。 ab的充要条件是 xx+yy=0。 零向量0垂直于任何向量.