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1、1.1 直角坐标系中的平移变换与伸缩变换目标：平移变换与伸缩变换的应用与理解一.直角坐标系1.直线上，取定一个点为原点，规定一个长度为单位长度，规定直线的 一个方向为正方向。这样我们就建立了直线上的坐标系 (即数轴)。它使直 线上任意一点P都可以由惟一的实数x来确定。2平面上，取定两条互相垂直的直线作为X、y轴，它们的交点作为坐 标原点，并规定好长度单位和这两条直线的正方向。这样我们就建立了平 面直角坐标系。它使平面上任意一点 P 都可以由惟一的二元有序实数对 (x, y) 来确定。3在空间中，选择三条两两垂直且交于一点的直线，以这三条直线分 别作为x、y、z轴，它们的交点作为坐标原点，并规定
2、好长度单位和这三 条直线的正方向。这样我们就建立了空间直角坐标系。它使空间中任意一 点P都可以由惟一的三元有序实数对(x, y, z)来确定。事实上，直线上所有点的集合与全体实数的集合一一对应；平面上所 有点的集合与全体二元有序数对x, y)的集合一一对应;空间中所有点的集 合与全体三元有序数对(x, y, z)的集合一一对应.二平面直角坐标系中图形的平移变换1平移变换在平面内，将图形F上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为 图形F的平移。若以向量力表示移动的方向和长度，我们也称图形F按向 量a平移.在平面直角坐标系中，设图形F上任意一点P的坐标为(x, y)，向量 a = (h, k)，
3、平移后的对应点为P(x: y) 则有： (x, y) + (h, k) = (xy)即有：J x + h = x y + k = y因此我们也可以说在平面直角坐标系中由:h:所确定的变换 是一个平移变换。因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小所以，在平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。例1已知点P(-4, 3)按向量a = (1,5)平移至点Q,求点Q的坐标;求直线1:3 x - 2 y + 12 = 0按向量a = (2, - 3)平移后的方程。一般地我们有如下关于平移变换的结论： 将点P(x, y)按向量a二(x , y )平移，所得点P，的坐标为： P(x + x
4、 , y + y ) 将曲线C : f (x, y) = 0按向量a二(x , y )平移，所得曲线C的方程为C: f (x 一 x , y 一 y ) = 000注：点P(-4, 3)按向量a = (1,5)平移，得点P，(-4 + 1, 3 + 5)，即:P，(-3,8)；直线l :3 x - 2 y + 12 = 0按向量a = (2, - 3)平移， 得直线厂:3( x - 2) - 2( y + 3) + 12 = 0，即:T :3 x - 2 y = 0 2有关曲线平移的一般性结论 .直线l : ax + by = 0，按向量a = (x , y )平移后得00直线V : a (x
5、 - x ) + b (y - y ) = 0 T 过点(x , y ) 0 0 0 0 曲线C : x2 + y 2 = r2，按向量a = (x , y )平移后得00曲线C :(x - x )2 + (y - y )2 = r2 T 中心为(x , y ) 0 0 0 0 曲线C : - += 1，按向量a = (x , y )平移后得a 2 b20 0曲线C :(x 一 x0)2 + (y 一 y0)2 = 1 T 中心为(x , y ) a 2b200 曲线C : - -= 1，按向量a = (x , y )平移后得a 2 b20 0曲线C:(x 一 x)2 - (y 一 y)2 =
6、 1 T 中心为(x , y ) a 2b200曲线C : y 2二2 px，按向量a二(x , y )平移后得曲线 C J( y - y )2 二 2 p (x - x )T 顶点为(x , y ).0 0 0 0例2说明方程4x2 + 9y 2 - 16 x + 18 y - 11二0表示什么曲线，求这个曲线的 顶点、中心、焦点、渐近线和离心率.三.平面直角坐标系中的伸缩变换1. 伸缩变换例3我们已经知道，方程y = sin 2x所表示的曲线可以看作由方程y = sin x所表示的曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1得2到的曲线；同理，将方程y = sin2 x所表示的曲线上所有
7、点的纵坐标保持 不变，而横坐标变为原来的2倍，也可以得到方程y = sin x所表示的曲 线.这也就是说，方程y = sin 2x所表示的曲线可以通过伸缩变换得到方 程y = sin x所表示的曲线.实际上，设2x = x； y = y，则y = sin 2x可以化为y = sin x由(2x = x，所确定的变换，是曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为y = y原来的2倍，也可以称为曲线按伸缩系数为2向着y轴的伸缩变换(这里 P(x, y)是变换前的点，P(x, y)是变换后的点).一般地，由F x = X，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为九向着y轴y 二 y的伸缩变换(当九1时，表示伸长；
8、当九1时，表示压缩)，即曲线上所 有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的九倍(这里P(x, y)是变换前的点， P(xy)是变换后的点).同理，由忙fy,所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为卩向着x轴 的伸缩变换(当卩1时，表示伸长；当卩1时，表示压缩)，即曲线上所 有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的卩倍(这里P(x, y)是变换前的点， P(xy)是变换后的点).，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数九向着 x 轴和按伸缩系数卩向着y轴的伸缩变换(当九1时，表示伸长，九 1时，表示压缩;当卩1时，表示伸长，当卩1时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标 和纵坐标分别变为原来的九倍和卩倍(这里P(x, y)是
9、变换前的点，P(xy) 是变换后的点).在伸缩变换中，曲线上任意两点间距离的不变性已不存在那么缩变 换有什么特征呢?我们来考察直线与圆在伸缩变换作用下的变化例4对下列曲线向着x轴进行伸缩变换，伸缩系数是k二14 2 x + 3 y - 6 二 0 ； . x 2 + y 2 二16(设P(x, y)是变换前的点，P(xy)是变换后的点).注：直线2 x + 3 y - 6二0经过伸缩变换后的方程为x + 6 y - 3二0， 它仍然表示一条直线；圆x2 + y2二16经过伸缩变换后的方程为特+ y 2二1，它变为椭圆.2.有关曲线伸缩变换的一般性结论直线经过伸缩变换后，仍是直线因此，在伸缩变换
10、作用下，点的共线 性质保持不变。曲线C : f (x, y) = 0在伸缩变换九x = X(或= x，或入x = x:)作用y 二 y 3 二 y 3 二 y下(九,卩1时表示拉伸，九, 1时表示压缩)，所得曲线C的方程为:C: f (1 x, y)二 0 (或f (X丄 y) = 0 或 f (丄 X丄 y)二 0)曲线C : f (X, y) = 0上各点的横坐标(或纵坐标、或横坐标和纵坐标)压缩为原来的丄，可得曲线C ： f (Xx, y) = 0九(或f (x, Xy) = 0或f (Xx, Xy) = 0，X1时表示压缩， 1时表示拉伸).2例 5设曲线 C : y = log x，
11、 C : y = log x - 1， C : y = log x，2 1 2 2 3 2C : y = 2 log x 一 log 9 由曲线C经过何种变换可以得到曲线c、C、C 1 2 3例6设M是A (x , y )与B (x , y )的中点，经过伸缩变换忙=x后，它1 ill 122I k y y2们分别为M , A , B，求证：M是A B的中点.(设P(x, y)是变换前的点，P(x2 y)是变换后的点).四.典型例题1两个定点的距离为4点M到这两个定点的距离的平方和为16, 则点M的轨迹是()A圆B.椭圆C双曲线D.抛物线2将函数y = sin x图象上所有点的横坐标扩大为原来
12、的2倍，纵坐标拉伸 为原来的 2倍，得到的函数图象的解析式为( )B.A y 二 1 sin 2 xB y 二 1 sin 1 x C y 二 2 sin 2 x D y 二 2 sin x2 22 2f , 11 , 1IAx x3Bx 2 xCy 2 yV、y， 3 y、3将点P(-2, 2)变换为点P-6,1)所用的伸缩变换公式是x，二 3 x，_ 2DI x 3 xy 2 y I y 2 y4已知点P(2, - 3)按向量a (-1, 4)平移至点Q,求点Q的坐标;已知点P(-3, 2)按向量a平移至点Q(2, 0)，求平移向量方5将对数函数y log x曲线的横坐标拉伸为原来的2倍,
13、 求所得曲线的方程36在同一直角坐标系中，已知伸缩变换p ：X：3x2 y 二 y 求点A(3, - 2)经过p变换所得到的点A，的坐标； 点B经过p变换得到点Bf(-3, 1)，求点B的坐标 求直线l: y = 6x经过p变换后所得到的直线厂的方程； 求双曲线C : x2 -二=1经过p变换后所得到的曲线C的焦点坐标.7.在平面直角坐标系中求将曲线C : X2 + y2 = 1变为曲线C:寄+于=1 的伸缩变换.8方程C : 3x2 + 4 y 2 - 18 x + 16 y + 7二0表示何种曲线，求它的中心坐标、 焦点坐标、准线方程、离心率五課外练习六.补充练习1将点P(x, y)的横坐
14、标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩为原来的3,得到 点P，的坐标为()A(x ,3 y)B(2 x，扌)C(3 x )D(扌,2 y)I x = x2曲线C经过伸缩变换J ,1后得到曲线C的方程为y二log (x + 2),y 二 3 y则曲线C的方程为1A y 二 ylog (x + 2)32C y 二 log (y x + 2)232()B y 二 3 log (x + 2)2Dy 二 log (3x + 2)23已知点P(3, - 2)按向量a = (-1, 4)平移至点Q,求点Q的坐标;已知点P(1, 3)按向量a平移至点Q(3,1)，求向量a4写出曲线按向量(-4,3)平移后的方程 .3 x - 4 y + 5 二 0 ； .y 2 二 8 x5.求下列方程所表示的曲线的顶点、焦点、中心及准线方程. x 2 - 4 y 2 + 4 x - 8 y 二 8 ； y 2 - 4 x + 2 y + 5 二 0 6对下列曲线向着y轴进行申缩变换，伸缩系数k二2 y = 2 sin 3 x ；7对x2 + y2 一 4x + 2y + 1 = 0曲线向着x轴进行伸缩变换，伸缩系数k = 2.8在平面直角坐标系中求将曲线C : x2 + y2 -
