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1、等比数列的前n 项和教学设计 （第一课时）一、教材分析1.在教材中的地位与作用在数列一章中，等比数列的前n 项和是一项重要的基础内容，从知识体系来看，它不仅是等差数列的前n 项和与等比数列的顺延，也是前面所学函数的延续，实质上是一种特殊的函数，而且还为后继深入学习提供了知识基础，错位相减法是一种重要的数学思想方法，是求解一类混合数列前n 项和的重要方法，因此，本节具有承上启下的作用；从知识结构和人文价值来看，等比数列与等差数列是平行结构关系，两者之间存在着一定联系，可以进行类比，拓展学生发现、创新的能力，等比数列的前n 项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思
2、维和探索精神 , 是增强学生应用意识和数学能力的良好载体；公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。2教材编排与课时安排提出问题-问题解决f等比数列前n项和公式推导-强化公式运用（例题与练习）。教师教学用书安排“等比数列的前n 项和”这部分内容授课时间 2 课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n 项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程，并充分揭示公式的结构特征和内在联系。二、教学目标分析依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特点，确定本节课的教学目标如下：【知识与技能】 理解等比数列的前 n 项和
3、公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题，一是已知等比数列基本量而求其前n 项和；二是已知前 n 项和而逆向求解数列基本量；三是基本思想方法（错位相减法）的运用。【过程与方法】 感悟并理解公式的推导过程， 感受公式探求过程所蕴涵的从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质，初步提高学生的建模意识和探究、分析与解决问题的能力。【情感、 态度与价值观】 通过经历对公式的探索过程， 对学生进行思维严谨性的训练，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简
4、洁美和数学的严谨美。三、重、难点分析【教学重点】 等比数列前n 项和公式的推导及其简单应用。从知识体系看， 为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；就知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来说，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力。【教学难点】 等比数列前n 项和公式推导方法的理解。从学生认知发展水平看， 探究能力和用数学语言交流的能力有待提高。从知识特点看，等比数列前n项和公式的推导与等差数列的前n项和公式的推导的可比性低，无法进行类比推导，需要充分理解等比数列的概念和性质，并能整合知识，做到融会贯通，而这对学生却是比较困难的 .四、学情与教法分析1 .学情分析
5、从学生思维特点和认知结构看，前面学生已经深入学习过函数、等差数列及其前n项和等知识，一方面容易把本节内容与等差数列前 n项和进行类比，另一方面，本节的公 式推导所要求的计算量更大，思维的深刻性更高。而且对q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后继学习使用过程中往往会出错。对高一下学期的学生而言，虽然具 有一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维上 具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。2 .教法分析根据学生认知发展水平和心理结构特点，结合教学内容的难易程度，在教学过程中可 以利用计算机多媒体和实物投影等辅助教学，以建构主
6、义理论为指导，采用引导启发教学 法和探究-建构教学相结合的教学模式，着重于学生的发现、探索和运用，并辅以变式教学， 注意适时适当讲解和演练相结合。3 .教学构想等比数列前n项和公式的推导是本节课的重点内容， 要积极引导学生观察实例，发现 规律，类比推理，推导归纳，总结反思，增强认知，强化运用。教学中可以给出等比数列前n项和公式推导的其他方法，以提高学生学习的兴趣，开拓学生的思维视野。例题和 巩固练习的选择要全面，不能忽略 q=1的情况，注意分类讨论思想的渗透。通项公式与前 n项和公式的综合运用涉及五个基本量，要对已知其中三个量求另两个量进行强化训练， 但要注意避免难度较大的指数方程的求解。还要
7、适当补充可以转化为等差数列、等比数列 求和的混合数列求和问题。五、教具准备多媒体课件和操作系统 六、教学过程教学教学过程设计环节教学内容教师活动学生活动意图问 题 情 境话说猪八戒自西天取经回到了高老庄， 从高员外手里接下了高老庄集团，摇身变成 了 CEO.可好景不长，便因资金周转不灵而 陷入了窘境，急需大量资金投入，于是就找 孙悟空帮忙.悟空一口答应： 行！第一天开 始每天给你1万，连续一个月 （30天），但有 一个条件：作为回报，从投资的第一天起你 必须返还给我1分，第二天返还2分，第三 天返还4分即后一天返还数为前一天的 2倍.”八戒听了，心里打起了小算盘：第一天：支出1分，“入1万；第
8、二天：支出 2分，收入1万，第三天：支出4分，收入1 万元；哇，发财了 ”心里越想越 美再看看悟空的表情，心里又嘀咕了：这猴子老是欺负我，会不会又在耍我？”打开多媒体课件，动 画语音展示故事情境，展 示结束后引导、启发学生 分析、思考问题聆听故事，感受数 学问题的情景化，趣味 吸引的同时有自己的 猜测，并在教师的引 导、启发后展开自己的 思维分析以故事引 题，激发学生 学习兴趣和 热情，调动学 习积极性，领 悟数学应用 价值。探究问题求 S64=1+2+2 2+2 3+229=?提出问题：已知等比数列an, 求 Sn=a1+a2+an公比为q,肯定学生的想法和不 完全归纳所得出的结果。观察、尝
9、试、讨论、 探究，欲解决引言问 题，但苦于没思路。在师生相互交流中 思维逐步展开，动笔演 算，感受方程思想和错 位相减法的奥妙，体会 数学的应用价值，同时 感受了错位相减法的 优势。通过引言 实例的探究 解决，使学生 感受数学的 应用价值，同 时也为下面 的学习作好 铺垫，作好认 知准备。一般化，等比数列前 n项和怎么求呢？引导启发学生联想、 类比、抽象，鼓励学生由在教师指导下，从发挥学生建构数Sn =a +82 +an+an =?计,2,n 2,n 1体1 Sn =a1 +a1q 4alq +a1q +a1q 一 c,2,3,n 1.n,PqSn=aiq 抬iq +ae 力|i 也曾 一血i
10、q于是（1 q） Sn= Sn =a11 _a1qn 当 q,i 时 S=ai（1qn） =ai-anq3 q,Sn=i-q = i-q当 q=i 时，Sn=nai。法2:提取公比qc,2 ,n_2 ,nSn =a1 +aq+aq +“aiq+aiq=a +q （a +aq + Qq） =a1 4q （Sn -a1qn 9二（1 q）Sn =a1 a1q当q/1时,S=ai=什 nn1-q1-q当 q=1 时，S n=naio特殊到一般，自主探究等 比数列前n项和公式，通 过反问，引导学生分类讨 论，突破难点。学生在引例启发和老 师指导下，基本上能用错 位相减法完成公式的推 导，但对字母运算存
11、在着 一定的困难，教师需适时 适当提示并板书，演示字 母运算。在用错位相减法推导 后，为开阔学生思维视 野，教师要及时总结方 法，并引导学生分析，师 生合作交流，尝试多种方 法来探究公式的推导。适当板书关键步骤， 注意语音语调，激励学生 展开联想、分析、训练学 生的思维。特殊到一般，从已知到 未知，步步深入，自己 探究公式，体验到学习 的愉快和成就感。受引例的启发，基 本能用错位相减法推 导出结果，但不完善， 在老师的提示下，经历 分类讨论的思维过程。感受变式教学对数 学思维的训练，通过积 极主动的课堂数学思 维活动的参与，进一步 提升自己认知结构的 深刻性和广泛性，增强 自己的数学运算能力。
12、经历数学发现的过 程，体会数学建构所带 来的成就感，并学会交 流，学会合作。学习主体性 和参与积极 性，从特殊到 一般，从模仿 到创新，有利 于学生的知 识迁移和能 力提高，一方 面使学生加 深对知识的 认识，完善知 识结构，另一 方面使学生 由简单模仿 接受变为对 知识的主动 认识，从而进 一步提高分 析、类比和综 合的能力。D推理成果、“，m -ai （1 qn） a一anq剖析公 式中的基本 量及结构特 征，识记公 式，及时总 结、巩固、强 化探究成果， 提高认知的 深度。学.rz| q i p1,Sn=.=.n1-q1-q当 q=1 时，Sn=nai2）公式的理解知三求二：n q a
13、i a n S nn的含义：项数（通项公式是 qn-1）q的含义：公比（注意q=1,分类讨论）错位相减法：乘公比（作用是构造许多 相同项）后错开一项后再减。提问，师生对话交流， 引导学生分析、剖析公式 的内在结构，注意强调注 意点。归纳小结、理解提 升、反思整理、强化记 忆，加强认知。求 S64=1+2+22+23+2 =?例1： 一尺之根日取其半万世不竭，n天之 后取得的木棒的总长呢？例2.等比数列an的公比q= 它的前8项和1 , a8=1,求2直接和变巩固例3:传说在很久以前，古印度舍罕王在 宫廷单调的生活苦恼中，发现了也就是现今 的国际象棋如此的有趣和奥妙之后，决定要 重赏发明人他的宰
14、相西萨 次依尔， 让他随意选择奖品，宰相要求的赏赐是：在 棋盘的第一格内赏他一粒麦子，第二格内赏 他两粒麦子，第三格四粒麦子 以此类推， 每一格上的麦子数都是前一格的两倍，国王 一听，几粒麦子，加起来也不过一小袋，他 就答应了宰相的要求。实际国王能满足宰相 的要求吗？打开课件，师生合作交 流，通过提问，引导学生 思维逐步深入。模仿套用公式作答， 强化对公式的理解，思 维训练深刻性加强，体 会分类讨论思想。式套用公式， 强化对公式 的理解和识 记，通过分类 讨论思想的 渗透，提升思 维层次。提高练习：等比数列 1, 21, 22, 23,有项的和是()A. 264263-1 264 + 1数列
15、a, a2, a3,，an( )，263的所.264-1的前n项和为打开课件，适时适当 点拨提示，引导学生分 析，启发学生思维，师生 合作交流，强化学生对知 识的应用和理解，提升学 生的思维品质。自主练习，个别学 生板书，在老师的指导 和启发下，训练自己的 思维，强化对知识的应 用，感受变式教学对思 维的熏陶，达到巩固、 灵活运用知识的目的。进一步研 究公式特点， 增强公式的 应用，促进学 生数学认知 结构的形成， 深化对公式 的认识和理 解。一题多解 及变式教学， 有利于提高 学生思维的 梯度、深度和 灵活性总1. 一个公式：等比数列前 n 业一一口. o a1 （1 qn）项和a1 anq提问，在师生相互交流的同时打开课件，帮助学生整合所学知识。整理、归纳 所学知识，完结反思二 q h2n=1 _ q=
